Учет экстраполятора при вычислении Z- передаточных функций.

Однако предположение о том, что передаточная функция W(p) ПНЧ есть дробно-рациональное выражение, не всегда выполняется. Как отмечалось ранее

,

где передаточные функции формирователя и собствен­но непрерывной части соответственно. Если обычно явля­ется дробно-рациональной функцией, то будет таковой лишь при некоторых упрощающих предположениях (см. [4] ). Обычно является трансцендентной функцией p, например, для экстраполятора нулевого порядка

.

Рассмотрим этот случай и определим для него порядок нахождения Z-передаточной функции W(z). Пусть - дробно-рациональная функция

, (16)

где , - многочлены степени m и n соответственно. Пусть - полюсы передаточной функции (16). Счи­тая, что все полюсы первого порядка, разложим выражение (16) на простейшие дроби:

.

Тогда

или

.

В соответствии со свойствами -преобразования множитель может быть вынесен за знак преобразования (см. курс “Математические основы ТАУ” или [6,прил.2]). Тогда

(17)

Найдем . Очевидно, что

.

Пользуясь таблицей -преобразования с учетом теоремы линей­ности, получим

(18)

Подставив выражение (18) в формулу (17), найдем

, (19)

т.е. получена формула для вычисления Z-передаточной функ­ции W(z) разомкнутой системы. Отметим, что при , а также при наличии кратных полюсов в формуле возникают неопре­деленности. Они могут раскрываться обычным способом, по прави­лу Лопиталя. Кроме того, формулу (17)) можно записать в виде

Здесь под знаком -преобразования стоит дробно-рацио­нальная функция. Определивтак, как излагалось выше (исполь­зуя разложение выражения на простейшие дроби), можно легко найти Z -передаточную функцию разомкнутой системы.

В общем случае для определения Z-передаточной функции W(z) можно использовать зависимость, полученную ранее в курсе «Математические основы ТАУ»:

(20)

где s_i – полюсы передаточной функции W(s) ПНЧ ( ).

Следует, однако, иметь в виду, что формула (20) справедлива, если выполняется условие

(21)

Например, если передаточная функция ПНЧ имеет вид и степень многочлена превосходит степень не менее чем на 2 порядка, то условие (21 выполняется, и тогда из зависимости (20) получим

(22)

В случае, если передаточная функция ПНЧ содержит выражение 1-е^-Tp, ее можно представить в виде

где - дробно-рациональная функция.

Тогда

и

(23)

где - полюсы функции .