Двоичная арифметика

Сложение, вычитание или умножение двоичных чисел выполняются так же, как и в арифметике десятичных чисел. Большинство микропроцессоров владеет командами сложения и вычитания двоичных чисел, однако некоторые, менее многочисленные выполняют команды умножения и деления (например, микропроцессоры Intel 8086 и Intel 8088).

На рис. 2.4,а представлены простые правила двоичного сложения. Два первых (слева) правила очевидны, третье

Рис. 2.4. Двоичное сложение: а — правила; б — пример

показывает, что 1 + 1 = 10, т. е. Наиболее значимая 1 переносится в ближайший старший разряд. Четвертое правило, наконец, показывает, что 1 + 1 + 1 = 11. В этом случае первое, второе слагаемые и запоминаемое & результате сложения в младшем разряде число — все 1. Результатом - является сумма—1 с переносом 1.

Сложим двоичные числа 0011 1011 и 0010 1010 (операция показана на рис. 2.4,6). Для большей ясности действия с десятичными эквивалентами обрабатываемых чисел показаны на рисунке справа. Суммой двух чисел 0011 1011 и 0010 1010 будет 0110 0101₂.

На рис. 2.5, а приведены правила двоичного вычитания. Первые три аналогичны десятичному вычитанию. Последнее требует заема из более значимого предшествующего разряда (в этом случае вес 2). Уменьшаемым является двоичное число 10, вычитаемым 1, разностью— 1.

Вычтем двоичное число 0011 1001 из 0101 0101. Этот пример приведен на рис. 2.5,6. Разряды весов 1, 2 и 4 этого двоичного вычитания просты для выполнения и относятся к первым трём правилам на рис. 2.5, а. В колонке веса ^:8 имеет место вычитание 1 из 0. Тогда 1 занимается из колонки веса 16.

Рис. 2.5. Двоичное вычитание: а — правила; б — пример

Единиц вычитается из 10₂, что дает разность 1 согласно четвертому правилу на рис. 2.5,о. После этого заема в колонке веса 16 имеет место вычитание 1 из нового вычитаемого 0. Согласно четвертому правилу 1 должна быть занята из следующей, более значимой позиции (колонка веса 32), но в колонке 32 имеем 0; поэтому колонка 32 должна сделать заем из колонки веса 64, что и выполнено. Окончательно колонка 16 делает заем из колонки 32, уменьшаемым в коленке 16 становится 10₂, вычитаемым 1, разностью 1. В колонке 32 имеем 1—1=0, в колонке 64 —0—0=0, в колонке 28 — 0—0=0. Таким образом, рис. 2.5,6 иллюстрирует операцию вычитания 1001₂ из 0101 0101₂ (справа эта задача решена в десятичной записи).

Приведем правила десятичного умножения:

Множимые 0 1 0 1

X X X X

Множители 0 0 1 1

Произведения 0 0 0 1

Два первых правила не требуют никаких пояснений. В двух следующих множителем является 1: когда множителем является 1 при двоичном умножении, множимое становится результатом и представляет собой произведение. Когда множитель 0, произведение всегда 0.

Выполним умножение 1101 на 101. Как и в случае умножения десятичных чисел, множимое сначала умножается на число, стоящее в младшем разряде (в рассматриваемом случае — бит в колонке веса).

Множимое 1101 13

X X

Множитель 101 _____ 5_

1-е частичное произведение 1101 65₁₀

2-е частичное произведение 0000

3-е частичное произведение 1101

Конечное произведение 1000001₂

Поскольку бит множителя в разряде веса 1 является 1, множимое копируется и составляет первое частичное произведение. Вторым битом множителя является 0, тогда второе частичное произведение есть 0000 (заметим, что оно, сдвинуто на одну позицию влево). Битом разряда веса 4; множителя является 1, тогда для получения третьего частичного произведения снова следует копирование множимого (заметим, что копирование завершается новым сдвигом на одну позицию влево). После этого выполняем сложение трех частичных произведений что дает результат 1000001₂. Полученный результат 1101₂ 101₂=10000012 соответствует произведению десятичных чисел 13 ₁₀X5 ₁₀=65_10.

Упражнения

2.28. Выполнить следующее сложения двоичных чисел:

а) 1010 б) 1101 в) 1011011 г) 0011 1111
+ + + +

0101 0101 0000 1111 0001 1111.

2.29. Выполнить следующие вычитания двоичных чисел:
а) 1110 6)1010 в). 100110 г) 0111 1000-

1000 0101 0001 1010 0110 1111.

2.30. Первое число при умножении называется -----, второе — множителем, а результат составляет .

2.31. Выполнить следующие умножения двоичных чисел:

а) 1001 б) 1101 в) 1111 г) 1110
х х х х

11 1001 101 1110.

Решения

2.28. См. рис. 2.4: а) 1111; б) 10010; в) 10010 1010; г) 0101 1110. 2.29. См. рис. . 2.5: а) 0110; 6)0101; в) 0100 1100; г) 0011 1001. 2.30.Множимое. Произведение. 2.31. Согласно §2.5: а) 11011; б) 111 0101; в) 100 1011; г) 1100 0100.

Лекция 7