Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной
Пусть заданы две прямые в виде с угловым коэффициентом и
, где
- угловые коэффициенты данных прямых;
- углы, образованные прямыми с положительным направлением оси Ox.
Тогда тангенс угла между двумя прямыми, отсчитанного против часовой стрелки от прямой
до прямой
вычисляется по формуле:
.
Из формулы следуют условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
1) прямые параллельны, т.е.
; таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
2) прямые перпендикулярны, т.е.
.
Геометрический смысл производной: Если кривая задана уравнением , то
, где
- угол, образованный касательной к кривой в точке с абсциссой
с положительным направлением оси Ox.
Пример 1.Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой
Решение. Найдём производную . Тогда угловой коэффициент касательной равен
.
Ответ: 3.
Уравнение касательной к графику функции в точке
имеет вид:
.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение нормали к графику функции в точке
имеет вид:
.
Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Уравнение касательной записывается в виде:
,
где - точка касания. Абсцисса
, а ордината
.
Найдём производную заданной функции в точке :
;
.
Искомое уравнение касательной имеет вид:
, или
.
Ответ: .
Механический смысл производной: Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент
есть производная пути по времени
.
Пример 3.Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.
Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим . Решаем уравнение
, т.е.
. Таким образом, после начала движения точка остановится через
с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит
м.
Ответ: 2; 80.
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 496;