Производная суммы, разности, произведения и частного функций

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Определение производной

Определение производной. Пусть задана функция , и пусть - некоторая точка интервала . Предел

называется производной функции в точке и обозначается (если последний предел существует). Таким образом, по определению,

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.

Обозначение производной функции :

Если ввести приращение аргумента и приращение функции , определение производной запишется в виде

Так как - произвольное значение аргумента, то можно обозначить его как x. Тогда получаем

Пример:

Дана функция , найдите её производную.

Решение.

а) , ,

б)

в)

Таким образом, .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. , где - дифференцируемая функция.

Теорема 3. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале и для любого x из этого интервала, то

.