Метацентрические высоты

Найдем условие, при соблюдении которого судно, плавающее в состоянии равновесия без крена и дифферента, будет обладать начальной остойчивостью. Полагаем, что грузы при наклонении судна не смещаются и ЦТ судна остается в точке, соответствующей исходному положению.

При наклонениях судна сила тяжести Р и силы плавучести γV образуют пару, момент которой определенным образом воздействует на судно. Характер этого воздействия зависит от взаимного расположения ЦТ и метацентра.

Возможны три характерных случая состояния судна для которых воздействие на него момента сил Р и γV качественно различно. Рассмотрим их на примере поперечных наклонений.

1-й случай (рис. 3.1) - метацентр располагается выше ЦТ, т.е. z_m > z_g. В данном случае возможно различное расположение центра величины относительно центра тяжести.

Рисунок 3.1 − Первый случай остойчивости судна

I. В начальном положении центр величины (точка С₀), располагается ниже центра тяжести (точка G) (рис. 3.1, а), но при наклонении центр величины смещается в сторону наклонения настолько сильно, что метацентр (точка m) располагается выше центра тяжести судна. Момент сил Р и γV стремится вернуть судно в исходное положение равновесия, и поэтому оно остойчиво. Подобное расположение точек m, G и С₀ встречается на большинстве судов.

II. В начальном положении центр величины (точка С₀), располагается выше центра тяжести (точка G) (рис. 3.1, б). При наклонении судна возникающий момент сил Р и γV выпрямляет судно, и поэтому оно остойчиво. В данном случае, независимо от размеров смещения центра величины при наклонении, пара сил всегда стремится выпрямить судно. Это объясняется тем, что точка G лежит ниже точки С₀. Такое низкое положение центра тяжести, обеспечивающее безусловную остойчивость на судах, трудно осуществить конструктивно. Такое расположение центра тяжести можно встретить, в частности, на парусных яхтах.

2-й случай (рис. 3.2, а) – метацентр располагается ниже ЦТ, т.е. z_m < z_g. В этом случае при наклонении судна момент сил Р и γV стремится еще больше отклонить судно от исходного положения равновесия, которое, следовательно, является неустойчивым. В этом

случае наклонения судно имеет отрицательный восстанавливающий момент, т.е. оно не остойчиво.

Рисунок 3.2 − Второй и третий случай остойчивости судна

3-й случай (рис. 3.2, б) – метацентр совпадает с ЦТ, т.е. z_m = z_g. В этом случае при наклонении судна силы Р и γV продолжают действовать по одной вертикали, момент их равен нулю – судно и в новом положении будет находиться в состоянии равновесия. В механике – это случай безразличного равновесия.

С точки зрения теории судна в соответствии с определением остойчивости судна судно в 1-м случае остойчиво, а во 2 и 3-м – не остойчиво.

Итак, условием начальной остойчивости судна является расположение метацентра выше ЦТ. Судно обладает поперечной остойчивостью, если

z_m > z_g

и продольной остойчивостью, если

z_м > z_g.

Отсюда становится ясным физический смысл метацентра. Эта точка является пределом, до которого можно поднимать центр тяжести не лишая судно положительной начальной остойчивости.

Расстояние между метацентром и ЦТ судна при Ψ = Θ = 0 называют начальной метацентрической высотой или просто метацентрической высотой. Поперечной и продольной плоскости наклонения судна отвечают соответственно поперечная h и продольная H метацентрические высоты. Очевидно, что

h = z_m – z_g и H = z_м – z_g ,

или h = z_c + r – z_g и H = z_c + R – z_g,

h = r – α и H = R – α,

где α = z_g – z_c – возвышение ЦТ над ЦВ.

Как видно, h и H различаются только метацентрическими радиусами, т.к. α является одной и той же величиной.

, поэтому H значительно больше h.

α = (1 %) R, поэтому на практике считают, что H = R.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Дайте определение метацентрической высоты.

2. Сформулируйте условие начальной остойчивости судна.

3. Вычислите значения поперечной и продольной метацентрических высот прямоугольного понтона длиной 25,0 м, шириной 4,2 м при z_g = 2,0 м, d = 2,5 м (k = 1/12).

4. Определите значение поперечной метацентрической высоты горизонтально плавающего бревна диаметром 0,6 м и длиной 4м, если плотность древесины 0,5 т/м³, а воды − 1,0т/м³ .