Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил и изгибающих моментов строят эпюры, которые дают возможность определить предположительно опасное сечение балки и установить значения поперечной силы и изгибающего мо­мента в этом сечении.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала составляют ана­литические выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка как функций текущей координаты z попереч­ного сечения:

Затем по полученным уравнениям строят эпюры.

Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точкам и значениям поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков. Применяя этот способ, в большинстве случаев можно обойтись без составления уравнений поперечных сил и из­гибающих моментов. При наличии некоторого опыта второй спо­соб предпочтительнее.

При построении эпюр следует руководствоваться приведенны­ми ниже правилами:

Эпюру моментов строят на сжатом волокне, т.е. положитель­ные моменты (и положительные поперечные силы) откладывают
вверх от оси, а отрицательные — вниз.

Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем
полагать, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила, зна­чение поперечной силы меняется скачкообразно, причем скачок равен модулю этой силы.

На том же основании будем полагать, что в сечении, где при­ложена пара сил (момент), значение изгибающего момента меняет­ся скачкообразно, причем скачок равен моменту нары.

Правильность построения эпюр следует проверять с помо­щью теоремы Журавского.

Как известно из математики, если то

где а — угол, который составляет касательная к эпюре моментов с по­ложительным направлением оси г. Согласно теореме Журавского,

(масштабы М_и и z полагаем численно равными единице), следова­тельно, если угол а острый, то Q > 0 и изгибающий момент на участ­ке возрастает; если угол а тупой, то Q < О и изгибающий момент на участке убывает; если a = 0 на всем участке, то М_и = const, Q = 0 и на этом участке возникает чистый изгиб; если a = 0 в одной точке эпю­ры моментов, то в этом сечении Q - 0, а изгибающий момент имеет экстремальное (максимальное или минимальное) значение. В сечении, где на эпюре поперечных сил имеется скачок, на эпюре из­гибающих моментов будет рез­кое изменение направления ка­сательной.

Чтобы правила знаков для изгибающих моментов и попе­речных сил. не противоречили знакам, полученным на основа­нии теоремы Журавского, при проверке эпюр следует ось z мысленно всегда направлять слева направо.

На участке, где нет распре­
деленной нагрузки, эпюра мо­ментов представляет собой наклонную прямую, а эпюра поперечных
сил — прямую, параллельную оси.

На участке, где приложена равномерно распределенная на­грузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил — наклонную прямую.

На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложена пара сил.

При построении эпюры для консольных балок начало коорди­нат удобно брать на конце консоли, что нередко дает возможность
обойтись без определения опорных реакций. В сечении, соответст­вующем заделке, поперечная сила равна реактивной силе, а изги­бающий момент — реактивному моменту.

Пример 23.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, шарнирно закрепленной двумя концами и нагружен­ной сосредоточенной силой (рис. 23.8).

Решение. Начало координат поместим на левом конце балки, а ось направим вправо. Данная балка состоит из двух участков.

Определим опорные реакции R_A и R_B, составив уравнения моментов относительно опор А и В:

; , откуда

; , следовательно,

Проверим правильность определения реакций, составив уравнение проекций на ось у:

;

Полученное тождество говорит о том, что реакции определены правильно

Приступаем к построению эпюр, применяя для этого метод сечений.

Построение эпюры поперечных сил. На первом участке поперечная сила Q₁ положительна, постоянна и равна R_A, так как слева от сечения 1—1 других сил нет.

Откладываем вверх от оси эпюры в произвольном масштабе

; затем проводим прямую, параллельную оси эпюры.

Значение поперечной силы на втором участке будет равно Q₂:

(то же получим, если рассмотрим часть балки, расположенную справа от сечения 2-2).

В точке приложения сосредоточенной силы F эпюра Q имеет скачок, численно равный F.

Вид эпюры Q показан на рис. 23.8.

Построение эпюры изгибающих моментов. В сечении 1-1 на первом участке изгибающий момент равен , причем z изменяется от 0 до а. Поскольку z входит в это уравнение в первой степе­ни, эпюра моментов будет представлять собой прямую линию.

Для построения эпюры , достаточно найти значения моментов на границах участка, т.е. при z = 0 и z = а:

при z = 0 М_1и = 0; при z=a

Для определения изгибающего момента в сечении 2—2 проще рас­смотреть правую часть балки, на которую действует одна сила:

причем z меняется от а до l.

Эпюра моментов на втором участке также будет изображаться прямой линией. Найдем значения изгибающего момента на границах участка:

при ;

при

По полученным значениям строим эпюру . Наибольшее значение будет иметь в сечении, где приложена сила F:

Это сечение будет предположительно опасным.

В частном случае, когда сила F приложена в середине балки.

u

Пример 23.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, шарнирно закрепленной двумя концами и нагружен­ной парой сил с моментом m (рис. 239).

Р е ш е н и е. Выберем начало координат на левой опоре, а ось z напра­вим вправо. Балка имеет два участка. Так как пару сил можно уравнове­сить только парой, то .

Построение эпюры по­перечных сил. Для всех сече­ний первого и второго участков по­перечная сила Q будет постоянна, отрицательна и равна . Следовательно, эпюра будет пря­мой линией, параллельной оси.

Построение эпюры из­гибающих моментов. На пер­вом участке , причем z меняется от 0 до а:

при z = 0 ;

при z = а .

На втором участке причем z меняется от а до :

при z =а

при z =

Эпюру М_и часто можно построить, не составляя уравнений, по значениям М_и на границах участков.

Пользуясь ранее приведенными правилами, устанавливаем, что на концах балки М_и = 0; в сечениях, бесконечно близких к паре сил слева и справа от нее, изгибающий момент

; .

В точке приложения пары сил эпюра М_и имеет «скачок», величина ко­торого равна моменту пары.

Построенная по найденным значениям эпюра М_и показана на рис. 23.9. Заметим, что на основании теоремы Журавского

следовательно, наклонные линии эпюры М_и на обоих участках должны быть параллельны между собой.

Полагая b > а, находим наибольшее значение изгибающего момента:

М_{и max=} mb/

В частном случае, когда внешний момент m приложен в середине про­лета балки,

Пример 23.3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной рав­номерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 23.10).

Решение. В силу симметричности распределения нагрузки по всей длине балки опорные реакции равны между собой:

Построение эпюры по­перечных сил. Данная балка имеет один участок. В любом сече­нии поперечная сила

Поскольку z входит в это урав­нение в первой степени (линейная зависимость), то эпюра Q будет прямолинейной. Для построения эпюры достаточно значений поперечной силы в двух точках:

при z=0

при z=

Эпюра Q показана на рис. 23.10.

Построение эпюры изгибающих моментов. Выражение для изгибающего момента в любом сечении балки имеет вид

Это уравнение параболы. Определим значения :

при ;

при

Очевидно, что при z = l М_u = 0.

По найденным значениям строим эпюру М_и, как показано на рис. 23.10.

Поскольку вторая производная

т. меньше нуля, то эпюра М_и будет расположена выпуклостью вверх.

Согласно теореме Журавского максимальное значение изгибающе­го момента будет в середине пролета балки, где

Пример 23.4.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для консольной балки АС, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной равномерно рас­пределенной нагрузкой интенсив­ности q = 200 Н/м, как показано на рис. 23.11.

Решение. Определим реакцииR_A и R_B :

Переходим к построению эпюры Q. Балка имеет два участка.

На первом участке поперечная сила причем z меняется от 0 до 4 м:

при z = 0 ;

при z = 4 м

Для упрощения построения эпюры Q на втором участке возьмем нача­ло координат в точке С и направим ось z влево, тогда Q₂ = qz, причем z ме­няется от 0 до 2 м:

На границе участков в точке В эпюра Q имеет «скачок», равный по ве­личине опорной реакции R_B = 900 Н.

Найдем точку оси, в которой Q = 0. Для этого запишем

На основании теоремы Журавского можно ожидать в этой точке экст­ремальное значение изгибающего момента. Переходим к построению эпюры М_м. На первом участке выражение для изгибающего момента имеет вид

Эпюра М_и будет представлять собой параболу. Вычислим значения М_!и в трех точках:

Для второго участка, взяв за начало координат точку С, получим

Вычислим значение М_2и на границах участка:

По найденным значениям строим эпюру М_и.

Поскольку в данном примере эпюра M_u, на обоих участках будет направлена выпуклостью вверх.

Из построенных эпюр видно, что опасным будет сечение балки на опоре В.