Портфель минимального риска при заданной его эффективности

Рассмотрим портфель из двух видов бумаг, эффективность которых удовлетворяет условию Требуемая эффективность такого портфеля может быть задана в виде:

(4.20)

где значение может быть задано в пределах

Сделав замену переменной структуру портфеля, удовлетворяющую условию (4.20) можно определить в виде:

(4.21)

При задании эффективности портфеля в виде равенства в (4.20) Структура портфеля определена однозначно:

(4.22)

В этом случае риск портфеля из двух видов бумаг однозначно определится формулой.

(4.23)

При задании эффективности портфеля в виде неравенства (4.20) структура портфеля минимального риска определяется наименьшим значением функции (4.23) на интервале значений х₁ заданных неравенством (4.21). Для нахождения наименьшего значения функции (4.21) на интервале (4.21) необходимо:

1) Приравнять производную функции (4.20) по х₁ нулю и из решения полученного уравнения определить значение при котором обеспечивается минимум риска портфеля ценных бумаг

2) Если вычисленное значение удовлетворяет неравенству:

(4.24)

то это значение является решением поставленной задачи. Ценовая доля бумаг второго вида находится из условия

3) Если вычисленное значение не удовлетворяет неравенству (4.24), то значение х₁, обеспечивающее минимальный риск при заданной эффективности определяется значением одной из границ интервала (4.24). Значение , обеспечивающее минимум определяется формулой:

(4.25)

Из формул (4.25) и условий следует, что минимальное значение риска портфеля существует при значениях коэффициента корреляции:

(4.26)

Пример 4.2. Определить стоимостные доли х₁ и х₂ портфеля ценных бумаг двух видов, обеспечивающие минимальный риск портфеля при заданной его эффективности если эффективности и риски бумаг первого и второго вида соответственно равны

Решение. Определим диапазон возможных значений стоимостной доли бумаг первого вида в соответствии с условием (4.20):

Так как по условию задачи то для х₁ получим:

(4.27)

По формулам (4.25) определим значения и , обеспечивающие минимальный риск портфеля ценных бумаг при двух различных значениях коэффициента корреляции доходностей ценных бумаг. Из условий (4.26) следует, что при заданных рисков ценных бумаг оптимальные значения и существуют для коэффициентов корреляции принимающих значение в интервале:

Вычислим значения и для коэффициента корреляции :

Для коэффициента корреляции оптимальная структура портфеля ценных бумаг двух видов определится значениями:

Из приведенных расчетов видно, что при значения и удовлетворяют неравенствам (4.27). Значит, структура портфеля минимального риска при его заданной эффективности определяется следующими значениями ценовых долей бумаг первого и второго вида . При этих значениях эффективность портфеля бумаг будет равна:

а минимальный риск портфеля ценных бумаг будет иметь значение:

При вычисленные функции и не удовлетворяют неравенствам (4.27). Это значит, что оптимальная структура портфеля ценных бумаг, обеспечивающая минимум при его заданной эффективности определяется одной из границ интервала (4.27).

При и для значений и получим:

При и эффективность и риск портфеля ценных бумаг определяется значениями:

Таким образом, при оптимальная структура портфеля ценных бумаг, обеспечивающая минимальный риск портфеля при заданной его эффективности определяется значениями и .

Рассмотрим методику определения структуры портфеля ценных бумаг, состоящего из трех видов независимых бумаг, обеспечивающей минимальный риск портфеля при заданной его эффективности. Данную задачу можно представить в формализованном виде:

(4.28)

где выполняются соотношения:

Сделаем замену переменных получим:

отсюда для получим:

(4.29)

где

После подстановки соотношений и в формулу (4.28) для риска портфеля ценных бумаг получим:

Дифференцируя данное уравнение по х₂ и приравнивая производную нулю получим:

Отсюда для оптимального значения ценовой доли бумаг второго вида в портфеле из трех видов бумаг получим:

(4.30)

С учетом равенств и для оптимальных значений ценовых долей бумаг первого и второго вида получим:

(4.30)

Структура портфеля, определяющаяся ценовыми долями бумаг , и (формулы (4.30) обеспечивает минимум риска портфеля ценных бумаг при заданной его эффективности (4.28).

Пример 4.3.Портфель состоит из трех видов независимых ценных бумаг, эффективность и риски которых имеют соответственно значения

Определить структуру портфеля ценных бумаг , и обеспечивающую минимальный риск портфеля при его заданной эффективности .

Решение. По формулам (4.29) определим значение коэффициентов А и В:

По формулам (4.30) определяем оптимальные значения ценовых долей ценных бумаг первого, второго и третьего его вида:

Правильность вычисления значений , и можно проверить по формулам:

Вычислим эффективность портфеля ценных бумаг:

Вычислим риск портфеля ценных бумаг: