Уравнения в полных дифференциалах

Однородные уравнения первого порядка

Функция называется однородной степени , если для любых выполняется тождество

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если и - однородные функции одной и той же степени.

С помощью новой переменной , вводимой по формуле

однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Введем новую переменную по правилу , получим

Подставим в исходное уравнение:

Преобразуем

Перепишем получившееся уравнение в виде:

Проинтегрируем левую и правую части:

Вернемся к "старым" переменным:

Линейные уравнения

Уравнение вида

или

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций

Следовательно,

Подстановка выражений для и в исходное уравнение приводит его к виду

Отсюда

Это уравнение приводят к более простому виду, полагая выражение в круглых скобках равным нулю:

Тем самым мы получаем уравнение для определения .

Тогда функция определяется уравнением

.

Пример.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде . Найдем производную от этого выражения: . Значения и подставим в исходное уравнение:

Перегруппируем его

В качестве выбираем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент при - круглую скобку:

Разделив переменные, получим

Откуда

Или, после операции потенцирования:

.

Не теряя общности, положим . Отсюда получаем выражение для .

Для определения остается уравнение

Подставив сюда найденное значение , получим:

, или

из которого определяем . Соответственно, общее решение будет иметь вид:

Также можно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем. Сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения . Далее величину , входящую в это уравнение, полагают функцией и находят ее.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

Решение.

1. Можно интегрировать это уравнение как линейное, полагая, как и ранее, . Отсюда .

Решая его, получим:

2. Это уравнение сводится к линейному, если разделить его на :

Делаем замену

.

Продифференцировав замену, найдем что

.

Или

.

Подставляя в исходное уравнение, получим

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Введем переменную . Найдя производную и подставив ее в исходное уравнение, получим:

или

.

Это уравнение распадается на два .

Решаем первое

Решаем второе

Интегрируем правую часть:

Отсюда

.

В результате получим

.

В итоге

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение

левая часть, которого является полным дифференциалом некоторой функции, т.е.

Общий интеграл уравнения определяется формулой

.

Далее, поскольку

то из условия следуют уравнения

которыми определяется функция . Необходимое и достаточное условие того, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, выражается равенством

которое вытекает из условия равенства смешанных производных:

.

Если левая часть исходного уравнения не является полным дифференциалом, но становится таковым при умножении на некоторую функцию - , то называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель зависит только от , т.е. , если

и зависит только от , если

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Имеем , .

Мы видим, что и, следовательно, это уравнение – дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Поэтому .

Аналогично

.

Сравнивая с найденным, запишем:

.

Отсюда вытекает, что

Отсюда

.

Следовательно, интеграл уравнения имеет вид:

.