Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами

Если , то уравнение будет иметь вид:

и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду

Общее решение этого уравнения определяется формулой

где - общее решение соответствующего однородного уравнения

,

а - частное решение исходного уравнения .

В простейших случаях, когда функция является показательной, или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.

1. Если

где - постоянные, то частное решение ищут в виде

,

когда не является корнем характеристического уравнения или в виде

,

когда - простой корень характеристического уравнения, или

,

когда - кратный корень указанного уравнения.

2. Если

где - постоянные, то частное решение ищут в виде

,

когда , и в виде

,

когда .

3. Если

,

где - многочлен степени , то частное решение дифференциального уравнения ищут в виде

в случае, когда , и в виде

,

когда , .

Пусть дано неоднородное уравнение

правая часть которого есть сумма двух функций и .

Если является частным решением , а - частным решением , то - частное решение .

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет корни

Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

Так как в данном случае (т.е. имеет вид где , ) и не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

.

Найдя производные этой функции

и ,

и подставляя выражения для , в исходное уравнение, получаем

.

Так как - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством:

откуда . Следовательно, частное решение имеет вид

.

Соответственно, общее решение

.