Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение записывается как

где заданная функция указанных аргументов.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция от и двух независимых произвольных постоянных и , обращающих данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном виде , называют общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение , полученное из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных: .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: . Числа , определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений:

.

9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной, то его можно представить в виде

.

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части зависит только от одного из трех аргументов

(А)

(Б)

(В)

Общее решение уравнения (А) находится двукратным интегрированием.

Уравнения (Б) (В) интегрируются подстановкой

которая дает возможность свести их к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнение , подстановкой приводится к уравнению первого порядка , в котором роль независимой переменной играет .

Пример.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Делаем замену . Отсюда

.

В результате исходное уравнение примет вид

.

Преобразуем его следующим образом:

.

Это уравнение распадается на два.

1.

2. .

Используя, что , найдем:

3. .

Или . Отсюда

4. . Возвращаемся к старой переменной.

5. . Интегрируем.

6.