Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

на отрезке при условии

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x₀, x_n].

Целью является построение таблицы

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

то получим явную формулу Эйлера:

, .

Порядок расчетов:

Зная , находим , затем т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Пользуясь тем, что в точке x₀ известно решение y(x₀) = y₀ и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке : . При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x₁) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x₂), получим приближенное значение y(x) в точке x₂: и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

, .

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

· вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

· вариант 2 (графический)

	y1=y0+f(x0,y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi,yi)
k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h	Аналогично варианту 1

Пример. Решить задачу Коши:

.

Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

Точное решение:

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Расчетные формулы метода Рунге – Кутта:

y1 – метод Эйлера, y2 – модифицированный метод Эйлера, y3 – метод Рунге Кутта.

Видно, что самым точным является метод Рунге – Кутта.