Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t₀ система находится в определенном состоянии S₀. Известны характеристики состояния системы в настоящем t₀ ® S₀ и всё, что было при t < t₀ (предысторию процесса). Возможно ли предугадать (предсказать) будущее, т. е. что будет при t > t₀? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем можно определить. Например, вероятность того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S₁ или останется в состоянии S₀ и т. д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t₀ количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно x₀ и y₀. Интересует вероятность того, что в момент времени (t₀ + t) численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t₀ самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь. При изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В теории массового обслуживания большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S₁, S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», т. е. практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы: S₀ – оба станка исправны; S₁ – первый станок ремонтируется, второй исправен; S₂ – второй станок ремонтируется, первый исправен; S₃ – оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние (рис. 4.1). Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т. к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков можно пренебречь.

Рис. 4.1. Граф состояний системы

Потоки событий

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Примерами потоков событий могут быть: поток отказов и поток восстановлений, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т. д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени Ot (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Распределение событий на оси времени

Интенсивность потока событий (l) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность l стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени t₁ и t₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью l интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

f (t) = le ^{– lt},

где l – параметр показательного закона.

Для случайной величины X, имеющей показательное распределение, математическое ожидание M(X) есть величина, обратная параметру, а стандартное (среднее квадратичное) отклонение s(X) равно математическому ожиданию:

M(X) = s(X) = 1/l.