Затем из каждого оставшегося уравнения вида


Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Две группы методов-точные и приближенные.

Точные (прямые) - позволяют получить точное решение с помощью конечного числа арифметических действий.

Приближенные- позволяют получить точное решение с помощью бесконечного числа арифметических действий.

Известные точные методы- Крамера, Гаусса (метод Крамера в вычислительной практике не используется из-за большого количества вычислений).

Метод Гаусса

Данный метод также называется методом последовательного исключения неизвестных. Он относится к группе прямых методов и основан на преобразовании исходной системы к эквивалентной форме с треугольной матрицей коэффициентов.

Исходная система

(1)

или A*x=B(в матричном виде)

При использовании метода Гаусса задача решается в два этапа:

1) прямой ход;

2) обратный ход.

Прямой ход заключается в преобразовании системы к треугольному виду.

При обратном ходе производится вычисление значений неизвестных.

Прямой ход метода Гаусса. Для получения расчетных формул прямого хода преобразуем исходную систему (1), заменив элементы bi ( ) на ai,n+1. В результате система (1) будет иметь следующий вид

 

 

Прямой ход выполняется за (n-1) шагов, причем на каждом шаге из уравнений с номерами k + 1, k + 2, …, n исключается неизвестное xk.

На первом шаге сначала первое уравнение делится на a11 ¹ 0. Получим

 

(3)

где

Затем из каждого оставшегося уравнения вида

( )

 

вычитается полученное уравнение (3), умноженное на коэффициент ai1. В итоге, после выполнения первого шага прямого хода система уравнений примет следующий вид

(4)

где

 

На втором шаге указанные выше действия повторяются над (n - 1) уравнениями системы (4), всеми кроме первого, с целью исключения переменной x2, где .

 

В итоге получим

 

где

Повторяя шаги прямого хода (n - 1) раз, окончательно получим систему уравнений треугольного вида

 

(5)

где

 

Обратный ход метода Гаусса. После приведения исходной системы уравнений (1) к треугольному виду (5) вычисляются значения корней по следующим формулам

 

Таким образом, расчетные формулы обратного хода имеют вид

 



Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 308;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.