Статически неопределенные системы

Статически неопределенными являются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить из условий равновесия статики. Для таких систем количество неизвестных усилий превышает количество условий равновесия. Разность между количеством неизвестных усилий и количеством уравнений равновесия статики, которые можно составить для заданной системы, составляет степень ее статической неопределенности. На рис.9.17 приведено пример статически неопределенной системы.

Абсолютно жесткий брус закреплен шарнирно в точке В и поддерживается тремя упругими, вертикально расположенными стержнями. Этот брус нагружен двумя равными по величине внешними силами F,как показано на рис 9.17,а. Все стержни имеют одинаковую длину 3 м. и поперечное сечение круглой формы.

Стержень 3 имеет площадь сечения 2A, а стержни 1 и 2 имеют одинаковую площадь сечения равную А. Стержни изготовлены из стали марки ст.5. Допускаемое напряжение на растяжение равняется

160 МПа. Определить продольные усилия, которые возникают в стержнях, а также диаметры поперечных сечений каждого стержня. Необходимые размеры приведены на рис.9.17,а.

Расчет статически неопределенных систем осуществляется в такой последовательности:

1) Определяем степень статической неопределенности системы как разность между общим количеством неизвестных усилий и количество уравнений равновесия, которые можно составить для заданной системы. От действия внешних сил F в стержнях системы возникают неизвестные усилия N₁, N₂, N₃,а также две составляющие реакции опоры В–вертикальная V_В и горизонтальная H_В. Всего имеем пять неизвестных сил сопротивления, для определения которых можем составить только три уравнения равновесия. Таким образом, заданная система является дважды статически неопределенной;

Рис. 9.17

2) Составляем уравнение равновесия, используя следующие условия равновесия:

ΣX_i =0; ΣZ_i =0; ΣM_В =0.

Первое условие дает возможность определить горизонтальную составляющую реакции опоры В.

H_В =0.

Второе условие приводит к следующему уравнению:

V_В + N₁ + N₂ + N₃ – 2F =0 (9.23)

Используя третье условие, получим уравнение:

N₁ ·1 + N₂ ·3 + N₃·5 – F·3 – F·6=0 (9.24)

3) Чертим геометрическую схему деформации стержней системы и составляем дополнительные уравнения совместимости деформаций этих стержней. От действия внешних сил Fабсолютно жесткий брус повернется на некоторый угол вокруг центра шарнирной опоры В.При этом стержни 1,2,3 системы получают удлинение , , соответственно (рис 9.17,б).

Рассмотрим две пары подобных треугольников и составим два геометрических уравнения совместимости деформаций стержней системы:

и (9.25)

4) Составляем дополнительные уравнения относительно неизвестных внутренних усилий, которые возникают в стержнях системы.

Для этого продольные деформации стержней в геометрических уравнениях совместимости деформаций (9.25) заменяем продольными усилиями, используя формулу (9.10):

; ; .

Подставим эти значения в зависимости (9.25) и сократим одинаковые величины.

В результате получим следующие уравнения относительно неизвестных усилий

N₁, N₂, N₃:

N₂ = 3·N₁ (9.26)

N₃ = 10·N₁ (9.27)

5) Решаем систему полученных уравнений (9.23), (9.26) и (9.27) относительно трех неизвестных усилий:

N₁ + 9·N₁ + 50·N₁ =9·F, откуда N₁ = 0,15F,

тогда: N₂ = 0,45Fи N₃ = 1,5F.

Определим, к примеру, усилие в стержнях, если F = 100 кН. Подставим это значение в предыдущие зависимости и получим: N₁ = 15 кН, N₂ = 45 кН , N₃ = 150 кН.

5) Определяем напряжение в поперечных сечениях каждого стержня:

МПа; МПа;

МПа;

Сравнивая эти напряжения, находим наибольше из них, т.е.

Приравняем напряжение к расчетному сопротивлению , находим требуемую площадь поперечного сечения:

, откуда определяем: м² , или А =3,57 см². Найдем необходимый диаметр стержня 3. Площадь круга равняется πd²/4 , тогда πd²/4 = 2A = 7,14 см², откуда имеем:

= 3,4 см.

Стержни 1 и 2 имеют площадь А = 3,57 см² , тогда диаметр этих стержней будет равняться:

== = 2,41 см.

Определим напряжение в этих стержнях:

;

.

Статически неопределенные системы коренным образом отличаются от статически определенных систем. В статически определенных системах внутренние усилия зависят только от внешних нагрузок. Эти усилия не зависят от размеров поперечных сечений и материала стержней. В стержнях же статически неопределенных систем внутренние усилия зависят от жесткости каждого стержня и возникают не только от действия внешних сил, но и от изменения температуры или технологических условий монтажа конструкции.