Прогнозирование технологических показателей разработки (нефтеизвлечения) на основе цифровой модели процесса

Под прогнозированием понимается установление заключения о предстоящем развитии, т. е. предсказание о течении технологического процесса разработки в будущем. Следовательно, к методам прогнозирования относят все методы моделирования процесса разработки.

Различают физическое и математическое моделирования.

При физическом моделировании на модели, представляющей по существу натурный или масштабно уменьшенный образец оригинала (лабораторную, пилотную установки), воспроизводят и исследуют процессы, качественно одинаковые с процессами, протекающими в реальном объекте.

Математическое моделирование заключается в исследовании процессов путем построения и решения системы математических уравнений, относящихся к собственно процессу и краевым условиям.

Системы математических уравнений решают аналоговым и вычислительным методами. Аналоговый метод математического моделирования базируется на подобии явлений и процессов различной физической природы, т. е. на широкой физической аналогии. Вычислительные методы подразделяются на аналитические, численные и статистические.

Более полный учет множества воздействующих на процесс разработки факторов можно выполнить с использованием численных методов на базе применения ЭВМ как наиболее эффективных и универсальных моделирующих устройств. Основы применения численных (разностных) методов математического моделирования для решения задач разработки нефтяных месторождений в настоящее время достаточно развиты. При проектировании разработки нефтяных месторождений чаще всего применяют численные методы.

Численные методы (цифровые) заключаются в определении с помощью ЭВМ численных значений функции в некоторых дискретных точках для заданных численных значений аргумента, т. е. решение получается в некоторых точках пространства. Для этого пространственная область фильтрации мысленно разделяется на ряд квадратов или блоков путем наложения сетки определенного типа (в большинстве равномерной квадратной сетки). Исследуемый интервал времени также разделяется на отдельные элементарные интервалы с постоянным шагом. Преобразование непрерывных дифференциальных уравнений к дискретному виду осуществляется с помощью метода конечных разностей. Получить конечно-разностные уравнения можно методом разложения функции в ряд Тейлора в заданной точке, решая уравнение относительно искомой производной.

Разложение функции в ряд Тейлора с использованием разностей прямых (вперед) и обратных (назад) соответственно можно записать:

Таким образом, для дискретной системы точек, пренебрегая погрешностью усечения, имеем:

Отсюда понятно, что численные методы всегда приближенные, так как замена производных отношением конечных приращений вносит погрешность. Она тем меньше, чем меньше приращения (шаг). Для перехода к конечно-разностному уравнению обозначим узловые точки вдоль оси х индексом i, вдоль оси у – индексом j, вдоль оси времени t – индексом k. Имеются два основных способа перехода от значений на прежнем уровне времени к значениям на новом уровне: явная схема, когда новые значения функции для каждой точки вычисляются по значениям соседних точек прежнего уровня; неявная схема, когда все неизвестные значения нового уровня определяются одновременно. Для решения двумерных задач применяется неявная схема. Использование ее дает конечно-разностный аналог, например, дифференциального уравнения упругого режима в однородном пласте

в виде

где – коэффициент пьезопроводности пласта.

В данном уравнении пять неизвестных давлений p_i,j,k+1, p_i,j+1,k+1, p_i+1,j,k+1, p_i,j-1,k+1, p_i-1,j,k+1. Такие уравнения записываем для каждой узловой точки сеточной области интегрирования (фильтрации) на (k+1)-й момент времени. Получаем вместо дифференциального уравнения систему из N алгебраических уравнений с N неизвестными, решая которую, определяем с помощью ЭВМ искомые давления в каждой узловой точке. Выполняя аналогичные расчеты для других временных уровней, находим изменение давления во времени в каждой узловой точке,

Для расчета при k=0 задается начальное условие. При значениях i и j, соответствующих узлам на внешней границе, используются граничные условия. Внешняя граница аппроксимируется ломаной сеточной границей. Аппроксимировать контур скважины не представляется возможным, так как применяемый шаг сетки (100-2000 м) существенно больше радиуса скважины. Г. Г. Вахитов показал, что в узловых точках расположения скважин вычисляемые давления равны давлениям на забое некоторой фиктивной («точечной») скважины с радиусом r_сф=0,2 Δх (при Δх = Δу). Тогда для расчета забойного давления в реальной скважине требуется учесть фильтрационное сопротивление между контурами фиктивной и реальной (с приведенным радиусом) скважин.