Уравнение движения для двухфазной фильтрации под действием гидродинамических сил

Двух- или трехфазное течение возникает практически всегда при разработке нефтяных месторождений, поскольку силы, движущие нефть, являются следствием упругости или гидродинамического напора газа или воды.

На вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке месторождений. Этот процесс является основным как при естественном водонапорном режиме (при вторжении в пласт краевой воды или газа газовой шапки, продвигающих нефть к забоям добывающих скважин), так и при так называемых вторичных методах добычи нефти закачка вытесняющей жидкости или газа через систему нагнетательных скважин для поддержания давления в пласте и продвижения нефти к добывающим скважинам.

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда поверхностное натяжение между фазами невелико и можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание, впервые предложенное американскими исследователями С. Бакли и М. Левереттом

Механизм вытеснения нефти водой из микронеоднородных гидрофильных пористых сред можно представить так. В чисто нефтяной зоне пористой среды перед фронтом внедрения воды движение нефти происходит непрерывной фазой под действием гидродинамических сил. По крупным поровым каналам нефть движется быстрее, чем по мелким. На фронте внедрения воды в нефтяную зону, в масштабе отдельных пор, движение воды и нефти полностью определяется капиллярными силами, так как они превосходят гидродинамические силы на малых отрезках пути. Вода под действием капиллярных сил устремляется с опережением преимущественно в мелкие поры, вытесняя из них нефть в смежные крупные поры до тех пор, пока разобщенные крупные поры не окажутся со всех сторон блокированными водой. Если крупные поры образуют непрерывные каналы, то вода по ним будет двигаться с опережением. Тем не менее отставшая нефть из мелких пор под действием капиллярных сил также переместится в уже обводненные крупные поры и останется в них в виде отдельных глобул.

Таким образом, мелкие поры оказываются заводненными, а крупные остаются в разной степени нефтенасыщенными. В масштабе большой зоны пористой среды, между передним фронтом внедряющейся воды и задним фронтом подвижной нефти, водонасыщенность пласта вдоль потока уменьшается от предельной водонасыщенности при неподвижной нефти до некоторой фронтальной водонасыщенности. В этой зоне идет совместная фильтрация воды и нефти. Вода движется по непрерывным заводненным каналам, обтекая уже блокированную нефть в крупных порах, а нефть перемещается в незаводненной части среды. Соотношение скоростей движения воды и нефти определяется распределением пор по размерам, водонасыщенностью и объемом нефти, блокированной в крупных порах заводненной части среды, а также распределением пор, объемом нефти и связанной воды в нефтенасыщенной части среды. В интегральном виде эти условия фильтрации воды и нефти выражаются кривыми фазовых (или относительных) проницаемостей.

Гидродинамические силы характеризуют распределение давлений в системе “скважина — глинистая корка — зона кольматации — зона проникновения — пласт". Именно ими первоначально контролируется вытеснение в зоне проникновения. В процессе роста и уплотнения глинистой корки, образования зоны кольматации и увеличения размеров зоны проникновения градиент гидродинамического давления уменьшается. Это приводит к возрастанию влияния капиллярных сил на распределение фаз при фильтрации. Определенное действие на процесс могут оказывать также и гравитационные силы, создавая за счет разности плотностей фаз в элементарном микрообъеме прискважинных зон дополнительный перепад давлений. При малых градиентах гидродинамического давления распределение фаз в процессе вытеснения полностью контролируется действием капиллярных сил и режимы вытеснения являются чисто капиллярными. Смачивающая фаза внедряется в поры под действием капиллярного перепада. Таким образом, капиллярный режим вытеснения проявляется, как правило, только в конце формирования зоны проникновения и характерен в основном для периода ее расформирования.

Уравнение движения фазРассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимаяв качестве закона движения линейный закон фильтрации Дарси .Закон Дарси записан в конечном виде, т.е. для пласта или образца с постоянной площадью сечения, где Ар* -разность приведенных давлений на конечной длине L. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме.

Выделим два сечения - первое на расстоянии х от начала отсчета вдоль линии тока, второе-на расстоянии Ах от первого .Пусть движение флюида происходит в направлении возрастания координаты х.

В сечении с координатой х обозначим приведенное давление через

р* (S, t), в сечении с координатой х + ∆S-через р* (s + ∆S , t). Использовав

формулу получим:

Знак минус появился в правой части формулы потому, что приведенное давление падает по движению жидкости, т.е. градиент приведенного давления отрицателен Dp*/Dх < 0.

[ Басииев К. С, Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная Б 27 гидромеханика: Учебник для вузов.-М.: Недра, 1993]

10. Двухфазная фильтрация под действием капиллярных сил. Уравнения движения фаз.

Если диаметр трубы не очень мал, капиллярным скачком давлений можно в первом приближении пренебречь. При этом, учитывая к тому же ламинарный характер вытеснения, поперечное сечение трубы вытесняющей жидкостью заполняется не сразу, а постепенно— клин вытесняющей жидкости внедряется в вытесняемую.Каждое поперечное сечение трубы одновременно занято двумя жидкостями, причем часть площади, занятая вытесняющей жидкостью, с течением времени постепенно увеличивается). Поскольку эту часть площади можно трактовать как «насыщенность» при вытеснении из трубы, ясно, что «фазовая проницаемость», определяющая в данном случае соотношение между расходом и градиентом давления, будет зависеть от «насыщенности». В пористой среде на этот эффект непоршневого вытеснения накладывается новый эффект — обусловленное капиллярностью неодновременное начало вытеснения во всех поровых каналах и несинхронный процесс развития дальнейшего вытеснения, когда оно захватило уже все поровые каналы.

Непоршневое вытеснение нефти - это вытеснение, при котором за его фронтом движутся вытесняющий и вытесняемый флюиды, т. е. за фронтом вытеснения происходит многофазная филь­трация.

Вопросы вытеснения нефти водой изучались многими иссле­дователями. Механизм вытеснения нефти водой из микронеодно­родных гидрофильных пористых сред можно представить так. В чисто нефтяной зоне пористой среды перед фронтом внедрения воды движение нефти происходит непрерывной фазой под действием гидродинамических сил. По крупным поровым каналам нефть движется быстрее, чем по мелким. На фронте внедрения воды в нефтяную зону, в мас­штабе отдельных пор, движение воды и нефти полностью опре­деляется капиллярными силами, так как они превосходят гидродинамические силы на малых отрезках пути. Вода под действием капиллярных сил устремляется с опережением преиму­щественно в мелкие поры, вытесняя из них нефть в смежные крупные поры до тех пор, пока разобщенные крупные поры не окажутся со всех сторон блокированными водой. Если крупные поры образуют непрерывные каналы, то вода по ним будет дви­гаться с опережением. Тем не менее отставшая нефть из мелких пор под действием капиллярных сил также переместится в уже обводненные крупные поры и останется в них в виде отдельных глобул.

Таким образом, мелкие поры оказываются заводненными, а крупные остаются в разной степени нефтенасыщенными. В масштабе большой зоны пористой среды, между передним фронтом внедряющейся воды и задним фронтом подвижной нефти, водонасыщенность пласта вдоль потока уменьшается от предельной водонасыщенности при неподвижной нефти до неко­торой фронтальной водонасыщенности. В этой зоне идет со­вместная фильтрация воды и нефти. Вода движется по непре­рывным заводненным каналам, обтекая уже блокированную нефть в крупных порах, а нефть перемещается в незаводненной части среды. Соотношение скоростей движения воды и нефти определяется распределением пор по размерам, водонасыщенностью и объемом нефти, блокированной в крупных порах за­водненной части среды, а также распределением пор, объемом нефти и связанной воды в нефтенасыщенной части среды. В ин­тегральном виде эти условия фильтрации воды и нефти вы­ражаются кривыми фазовых (или относительных) проницаемостей.

За задним фронтом подвижной нефти нефтенасыщенность обусловлена наличием нефти в разрозненных, крупных, блоки­рованных водой порах. Непрерывных, нефтенасыщенных кана­лов, вплоть до добывающих скважин, в этой зоне нет, нефть яв­ляется остаточной, неподвижной. Но нефть в глобулах не теряет способности двигаться при устранении капиллярных сил.

Если пористая среда обладает частичной гидрофобностью, что характерно практически для всех нефтеносных пластов, то остаточная нефть может оставаться в порах также в виде пленки.

Согласно наиболее простой модели Баклея - Леверетта не­поршневое вытеснение, как известно из подземной гидрогазоди­намики, описывается уравнением доли вытесняющей жидкости (воды) в потоке и уравнением скорости перемещения плоскости с постоянной насыщенностью. Рассмотрим прямолинейное вы­теснение из однородного пласта при движении несжимаемых жидкостей. Доля воды в потоке водонефтяной смеси

(1)

где Q = Qн + Qв - объемный расход смеси, равный сумме расхо­дов воды Qв и нефтиQн; s - насыщенность пор породы подвиж­ной водой.

Модель Баклея - Леверетта косвенно учитывает капилляр­ные силы через фазовые проницаемости. Капиллярные силы более полно учитываются в модели Рапопорта - Лиса через экспериментальную функцию насыщенности (функцию Леве­ретта). Анализ показывает, что капиллярные силы "размазы­вают" фронт, поэтому при их учете скачок насыщенности отсут­ствует и насыщенность изменяется непрерывно до насыщенно­сти связанной водой. Экспериментами было обнаружено, что при постоянной скорости вытеснения распределение насыщенности в переходной области вблизи фронта не меняется со вре­менем, т. е. образуется так называемая стабилизированная зона. Она перемещается, не изменяя своей формы.

Экспериментами В. В. Девликамова по вытеснению нефти водой из модели горизонтального однородного пласта установ­лено, что за счет действия гравитационных сил происходит опе­режающее продвижение воды вдоль его нижней части, т. е. вер­тикальный сначала фронт воды растекается в нефтяную часть по подошве пласта и искривляется.

Рассмотренные решения применяются при оценочных расче­тах технологических показателей разработки месторождений, а также могут служить тестами при оценке точности численных методов решения более общих задач (неодномерное движение, сжимаемость фаз и др.).

Рассмотрим двухфазную фильтрацию с учетом капиллярного давления, причем массовыми силами будем для простоты пренебрегать. Напомним систему исходных уравнений.

Уравнения движения двухфазной жидкости имеют вид:

Уравнения неразрывности

Уравнение Лапласа для расчета капиллярного давления

где R1,R2 - главные радиусы кривизны капиллярных менисков;

а — коэффициент межфазного натяжения; Rк(сигма) — известная экспе-

риментальная функция насыщенности.

Суммарный расход вследствие несжимаемости не зависит от х:

Таким образом, имеем пять неизвестных Q1,Q2,p1,p2, сигма и пять уравнений.

Из уравнений (IX. 6.1), (IX. 6. 2) и (IX. 6. 5) получим

Найдем из уравнения (IX. 6. 6)

Подставляя (IX. 6. 7) в уравнение (IX. 6. 1), получаем

Из (IX. 6.8) определим dQ1/dx и подставим его в уравнение неразрывности (IX. 6.3). Получаем

Уравнение (IX. 6. 9) представляет собой сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными. Точные решения этого уравнения были получены для некоторых сравнительно простых случаев. В качестве примера укажем на задачу о так называемой стабилизированной зоне вблизи фронта вытеснения.