Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке. Параллелограмм сил.
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.
Простейшую систему сходящихся сил образуют две силы, приложенные к телу в одной точке. Согласно третьей аксиоме статики их равнодействующая выражается диагональю параллелограмма, построенного на заданных силах и называемого параллелограммом сил. Правило нахождения равнодействующей называется правилом параллелограмма. Существуют два способа определения величины и направления равнодействующей двух сил: графический и аналитический. Рассмотрим последовательно каждый из них.
Пусть в точке А твердого тела приложены две силы и , линии действия которых образуют угол α. Вычертим в выбранном масштабе заданные силы (рис.2.1,а) и построим на них параллелограмм АВСD. Диагональ АС этого параллелограмма определяет равнодействующую заданных сил по величине и направлению. Модуль равнодействующей определяется путем измерения диагонали АС в масштабе сил, а её направление - путем измерения угла βмежду равнодействующей . и силой , либо угла γ между равнодействующей исилой .
Рис.2.1
Рассмотрим треугольник ABC. Сторона АВ этого треугольника равна силе , сторона ВС геометрически равна силе , а сторона АС является равнодействующей двух заданных сил. Отсюда следует, что равнодействующая двух сил может быть определена по правилу треугольника сил. Для построения этого треугольника необходимо из конца В силы отложить вектор, геометрически равный силе , т.е. вектор той же длины, что и сила , параллельный ей и направленный в ту же сторону. Замыкающий вектор, проведенный из начала силы в конец силы является равнодействующей двух заданных сил (рис.2.1,б).
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что стороны треугольника, представляющие заданные силы, всегда имеют одно направление (по ходу часовой стрелки или противоположно), в то время как равнодействующая имеет противоположное им направление, т.е. замыкает силовой треугольник.
Для определения равнодействующей двух сил аналитическим способом следует построить силовой треугольник схематически, т.е. без соблюдения масштаба сил, и определить модуль и направление равнодействующей из решения силового треугольника.
Так, например, для определения модуля равнодействующей двух сил и , представленных на рис.2.1,б, воспользуемся теоремой косинусов. Учитывая, что угол ABC силового треугольника равен 180°-α, запишем следующее выражение на основании теоремы косинусов:
, так как , получим:
(2.1)
По формуле (2.I) вычисляется модуль равнодействующей двух сил, линии действия которых образуют между собой произвольный угол α.
Для определения направления равнодействующей по отношению к заданным силам, т.е. для определения углов β и γ между линией действия равнодействующей и линиями действия заданных сил и , воспользуемся теоремой синусов:
Учитывая, что , получим
и (2.2)
В некоторых частных случаях расположения заданных сил формулы (2.I) и (2.2), определяющие модуль и направление равнодействующей, могут быть упрощены. Рассмотрим следующие частные случаи:
I. Силы и не равны по модулю и образуют прямой угол (рис.2.2,а)
Рис. 2.2
В этом случае имеем: , и . После подстановки этих значений в формулы (2.I) и (2.2), получим:
, и (2.3)
2. Силы и равны по модулю и образуют прямой угол (рис.2.2,6).
Обозначим модуль сил символом и воспользуемся выражениями (2.3). В результате получим:
, , (2.4)
Следовательно, равнодействующая двух равных и взаимно перпендикулярных сил равна модулю одной из сил, умноженному на и образует углы равные 450 из каждой силой.
3. Силы и не равны по модулю и направлены вдоль общей прямой в одну сторону (рис.2.2,в). В этом случае:
, и , следовательно:
, , т.е. (2.5)
Итак, равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и направленных вдоль общей прямой в одну сторону, равна сумме этих сил и направлена в ту же сторону, что и заданные силы.
4. Силы и направлены вдоль общей прямой в противоположные стороны (рис.2.2,г). В этом случае угол , и . Тогда по формуле (2.I) находим:
(2.6)
Из выражения (2.6) вытекают, что равнодействующая зависит от соотношения модулей заданных сил. Возможны следующие три соотношения:
а) , тогда (2.7)
б) , тогда (2.8)
в) , тогда (2.9)
Таким образом, равнодействующая двух сил, направленных вдоль общей прямой в противоположные стороны равна разности этих сил. Направление равнодействующей совпадает с направлением силы, имеющей больший модуль.
Равнодействующая двух равных и противоположно направленных сил равна нулю (аксиома I).
2.2. Разложение силы на две составляющие.
Задача сложения сил, рассмотренная в предыдущем параграфе, позволяет заменить действие системы сил на тело одной равнодействующей. К такой замене часто прибегают в технической механике с целью упрощения решения практических задач.
Иногда возникает необходимость решения обратной задачи, состоящей в разложении заданной силы на две составляющие. Такое разложение может быть выполнено по правилу параллелограмма, так как любая сила может рассматриваться как равнодействующая двух сходящихся сил. Очевидно, что множество параллелограммов могут иметь одну и ту же диагональ. Следовательно, задача разложения силы на две составляющие имеет множество решений. Для получения конкретного, определенного разложения силы необходимо задать дополнительные условия, которые конкретизируют два параметра составляющих сил. Отсюда вытекает, что определенное разложение силы на две составляющие может быть получено:
а) если известны линии действия двух составляющих;
б) если заданы линия действия одной составляющей и модуль другой;
в) если известны модули двух составляющих;
г) если известны модуль и линия действия одной из составляющих.
Рассмотрим последовательность разложения заданной силы при указанных условиях.
Рис.2.3
Пусть задана сила и линии действия её составляющих и . В выбранном масштабе вычертим вектор геометрически равный силе (рис.2.3а). Из начала и конца этого вектора (точек А и С соответственно) проведем прямые линии, параллельно линиям действия составляющих сил и до взаимного их пересечения в точках В и D. В результате получим параллелограмм сил АВСD, стороны АВ и АD которого геометрически равны искомым силам и .
Решение этой же задачи можно выполнить по правилу силового треугольника. Для этого необходимо из начала заданной силы (точки А) провести прямую параллельно линии действия одной составляющей, а из её конца (точки С) - прямую параллельно линии действия другой составляющей. В пересечении этих прямых получаем точку В (рис.2.3,6). Величины составляющих определяются измерением сторон АВ и ВС треугольника сил АВС в принятом масштабе, а их направления устанавливаются против направления заданной силы по обводу треугольника.
Если заданы линия действия одной составляющей и модуль другой, то разложение заданной силы осуществляется следующим образом: Из начала А силы (рис.2.3,в) проводим прямую параллельно заданной линии действия одной составляющей. Затем из конца С силы как из центра, раствором циркуля равным модулю другой составляющей, проводим дугу окружности до пересечения с ранее проведенной прямой в точке В. Точки В и С соединяем и получаем силовой треугольник ABC. Величины и направления составляющих определяются так, как и в первом случае.
Разложение силы на составляющие и , модули которых известны, производится в такой последовательности:
- вычерчивается заданная сила в некотором масштабе
- из начала этой силы (из точки А) описывается дуга окружности, радиус которой равен модулю одной из составляющих, а из конца заданной силы (из точки С) описывается вторая дуга окружности, радиус которой равен модулю другой составляющей (рис.2.3,д). Точка пересечения этих дуг соединяется с началом и концом заданной силы. Полученный таким образом силовой треугольник ABC позволяет определить величины и направления искомых составляющих и .
Возможен второй вариант разложения силы на две составляющие, модули которых известны. Предлагаем учащимся установить этот вариант разложения силы в качестве упражнения.
Для нахождения составляющих и силы по известным модулю и линии действия одной из них необходимо из начала силы (из точки А) провести прямую, параллельно линии действия заданной составляющей и отложить на ней отрезок АВ численно равный модулю этой составляющей. Если соединить точку В с концом заданной силы, то образуется силовой треугольник ABC (рис.2.3,г), сторона ВС которого определяет вторую искомую составляющую по величине и направлению.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 4633;