Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид занятий | Всего часов | Семестры |
Общая трудоемкость | ||
Аудиторные занятия | ||
Лекции | ||
Практические занятия | ||
Индивидуальная работа | ||
Самостоятельная работа | ||
Контрольные работы + | + | |
Вид итогового контроля экзамен | экзамен |
3. Тематический план изучения дисциплины
№ п/п | Наименование темы | Лекции | Практические занятия | Самост. работа | Формы контроля | |
Введение в математические проблемы криптографии. | к/р | |||||
Основы теории чисел. Делимость, простые числа, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида. Цепные дроби. Асимптотический закон распределения простых чисел. | ||||||
Мультипликативные функции. Функция Эйлера. | ||||||
Теория сравнений. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Zn, Zp. | ||||||
Обратный элемент в Zn Алгебраические структуры на целых числах - Zn, Zp. | ||||||
Теорема Эйлера, теорема Ферма, тест Ферма на простоту. Криптосистема RSA. | ||||||
Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках и ее применения в криптографии (схема разделения секрета на ее основе и ее применение в RSA). | ||||||
Квадратичные сравнения. Символ Лежандра. Закон взаимности. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. | к/р | |||||
Символ Якоби и его свойства. Тест Соловея-Штрассена на простоту. Решение квадратичных сравнений по составному модулю. | ||||||
Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали. | ||||||
Циклическая группа Z*p (Up). Порождающий элемент и дискретный логарифм. | к/р | |||||
Теоремы Сэлфриджа и Поклингтона. Доказуемо простые числа общего вида. | ||||||
Числа Ферма и тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94 | ||||||
Конечные поля многочленов. | Домашняя к/р | |||||
Элементы теории сложности. Теоретико-числовые проблемы, лежащие в основе двухключевых криптосистем. | Расчетная работа | |||||
Алгоритмы факторизации | ||||||
Алгоритмы дискретного логарифмирования. | ||||||
Содержание разделов дисциплины
- Введение в математические основы криптографии.
- Основы теории чисел. Делимость, простые числа, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида.
- Цепные дроби. Асимптотический закон распределения простых чисел. Мультипликативные функции. Функция Эйлера.
- Теория сравнений. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Zn, Zp.
- Обратный элемент в Zn Алгебраические структуры на целых числах - Zn, Zp.
- Теорема Эйлера, теорема Ферма, тест Ферма на простоту. Криптосистема RSA. Понижение степени сравнения.
- Сравнения первой степени и их решение. Системы сравнений первой степени и их решение. Китайская теорема об остатках и ее применения в криптографии (схема разделения секрета на ее основе и ее применение в RSA).
- Квадратичные сравнения. Символ Лежандра. Закон взаимности. Существование решений квадратичного сравнения по простому модулю. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
- Символ Якоби и его свойства. Тест Соловея-Штрассена на простоту. Существование и количество решений квадратичного сравнения по составному модулю. Решение квадратичных сравнений по составному модулю.
- Квадраты и псевдоквадраты. Проблема различения квадратов и псевдоквадратов, ее связь с задачей факторизации. Числа Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали.
- Циклическая группа Z*p (Up). Порождающий элемент и дискретный логарифм. Задача дискретного логарифмирования. Криптосистемы Диффи-Хэллмана и Эль-Гамаля.
- Теоремы Сэлфриджа и Поклингтона. (n-1) – тесты на простоту. Доказуемо простые числа общего вида.
- Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
- Конечные группы и поля многочленов. Многочлены над Zp, Zn. Сложение многочленов, умножение многочленов, разложение многочлена на сомножители. Неприводимые многочлены.
- Элементы теории сложности. Оценки сложности по времени, по объему требуемой памяти. Полиномиальная сложность, субэкспоненциальная сложность, экспоненциальная сложность алгоритмов. Сложность элементарных операций. Теоретико-числовые проблемы, лежащие в основе двухключевых криптосистем – факторизация, дискретное логарифмирование.
- Алгоритмы факторизации. Метод пробных делений, метод Ферма, метод квадратичного решета, ро-метод Полларда, p—1 – метод Полларда, методы случайных квадратов. Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
- Алгоритмы дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска, ро-метод Полларда, метод исчисления индексов, «шаг младенца-шаг великана». Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
5. Практические занятия.
- Операции над целыми числами. Нахождение наибольшего общего делителя при помощи алгоритма Евклида, наименьшего общего кратного. Построение таблицы первых простых чисел с помощью решета Эратосфена. Нахождение канонического разложения числа на простые сомножители.
- Разложение дробей в цепные дроби при помощи алгоритма Евклида. Асимптотический закон распределения простых чисел – вычисление примерного количества простых чисел на заданном интервале. Вычисление функции Эйлера от числа. Теория сравнений. Построение приведенной системы вычетов от по заданному модулю. Проверка сравнений.
- Вычисление обратного элемента в Zn при помощи расширенного алгоритма Евклида. Тест Ферма на простоту. Понижение степени сравнения. При помощи теоремы Эйлера. Криптосистема RSA.
- Сравнения первой степени и их решение. Системы сравнений первой степени и их решение по Китайской теореме об остатках.
- Символ Лежандра. Существование решений квадратичного сравнения по простому модулю. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. Символ Якоби. Существование и количество решений квадратичного сравнения по составному модулю. Решение квадратичных сравнений по составному модулю.
- Квадраты и псевдоквадраты. Проблема различения квадратов и псевдоквадратов, ее связь с задачей факторизации. Числа Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали. Циклическая группа Z*p (Up). Отыскание порождающего элемента.
- (n-1) – тесты на простоту на основе теорем Сэлфриджа и Поклингтона. Числа Ферма, тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
- Конечные группы и поля многочленов. Многочлены над Zp, Zn. Сложение многочленов, умножение многочленов, разложение многочлена на сомножители. Неприводимые многочлены. Нахождение НОД многочленов.
- Алгоритмы факторизации. Метод пробных делений, метод Ферма, метод квадратичного решета, ро-метод Полларда, p—1 – метод Полларда, методы случайных квадратов. Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов. Алгоритмы дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска, ро-метод Полларда, метод исчисления индексов, «шаг младенца-шаг великана». Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
Вопросы к экзаменам
- Основные понятия теории чисел. Теорема делимости.
- Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.
- Цепные дроби и алгоритм Евклида.
- Наименьше общее кратное. Простые числа.
- Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена.
- Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения на простые сомножители.
- Теорема о делителях числа и ее следствия.
- Асимптотический закон распределения простых чисел.
- Функция Эйлера, ее свойства.
- Сравнения. Свойства сравнений.
- Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические свойства, обратный элемент.
- Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие.
- Тест Ферма на простоту. Числа Кармайкла. Теорема Кармайкла.
- Применение теоремы Ферма в криптосистеме RSA.
- Сравнения с одним неизвестным 1-й степени.
- Система сравнений 1-й степени. Китайская теорема об остатках.
- Применение Китайской теоремы об остатках в RSA и схема разделения секрета на ее основе.
- Квадратичные сравнения по простому модулю.
- Символ Лежандра и его свойства.
- Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
- Число решений квадратичного сравнения по составному модулю.
- Символ Якоби, его свойства. Тест Соловея-Штрассена.
- Квадратичные сравнения по модулю RSA. Связь задач извлечения корней и факторизации. Криптосистема Рабина.
- Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма.
- BBS-генератор. Криптосистема Блюма-Гольдвассер, криптосистема Гольдвассер-Микали.
- Тест Миллера-Рабина.
- Порядок группы. Порядок элемента в группе. Порождающий элемент.
- Существование порождающего элемента в Z*n
- Критерий Люка.
- Теорема Сэлфриджа и тест Миллера.
- Теорема Поклнгтона и тест на простоту на ее основе.
- Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина.
- Числа Мерсена. Тест Лукаса-Лемера.
- Теорема Диемитко. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р 34.10-94.
- Дискретный логарифм. Проблема Диффи-Хелмана. Криптосистема ЭльГамаля.
- Кольца многочленов.
- Поле многочленов GF(pα).
- Проблема факторизации. Метод проных делений.
- Метод Ферма факторизации.
- Метод квадратичного решета.
- Ро-метод Полларда факторизации.
- p—1 – метод факторизации.
- Методы случайных квадратов.
- Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска.
- Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования.
- Алгоритм Полига-Хеллмана.
- Метод «Шаг младенца-шаг великана».
- Метод исчисления порядка.
Литература
ОСНОВНАЯ:
1. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии. Учебное пособие. — М.: Гелиос-АРВ, 2001.
2. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.
3. Столлингс В. Криптография и защита сетей. Принципы и практика. 2-е изд. — М: Вильямс, 2001.
4. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963.
5. Введение в криптографию / Под общей ред. Ященко В.В. — М: МЦИМО, «ЧеРо», 1998.
6. Саломаа А. Криптография с открытым ключом. — М.: МИР, 1996.
7. Варфоломеев А.А., Домнина О.С, Пеленицын М.Б. Управление ключами в системах криптографической зашиты банковской информации. — М: МИФИ, 1996.
8. Варфоломеев А.А., Пеленицын М.Б. Методы криптографии и их применение в банковских технологиях. — М.: МИФИ, 1995.
9. Фомичев В.М. Симметричные криптосхемы. Краткий обзор основ криптологии для шифрсистем с открытым ключом. — М.: МИФИ, 1995.
10. История криптографии. А.В. Бабаш, Г.П. Шанкин. Учебное пособие. - М.: "ГелиосАРВ",2001 г.
11. Рябко Б.Я., Фионов А.Н., Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях, М.: Научный мир, 2004.
12. Шнайер Б., Прикладная криптография
13. Черемушкин А.В. Вычисления в алгебре и теории чисел. Курс лекций. — М.: 2002.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:
1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.
2. Диффи У., Хеллман М.Э. Защищенность и имитостойкость. Введение в криптографию. - ТИИЭР, т.67, №3, 1979.
3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: МИР, 1994.
4. Брассар Ж. Современная криптология. — М.: ПОЛИМЕД, 1999.
5. Мэсси Дж.Л. Современная криптология: введение. - ТИИЭР, Т.76, №5, 1988.
6. Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы теории защиты информации. — М.: Высшая школа, 1999.
7. Проскурин Г.В. Принципы и методы зашиты информации. — М.: МИЭМ, 1997
8. A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography – CRC Press, Inc., 1997
Программа составлена
д.ф.-м.н., профессором
А.В.Рожковым и
ст. преподавателем
О.В. Ниссенбаум
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.
2. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2002. – 480 с.
3. Александров П. С. Введение в теорию групп. - 2-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 128 с.
4. Введение в криптографию/Под общей ред. В.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 1998. – 272 с.
5. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.
6. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности "Математика". - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. - 88 с.
7. Молдовян Н.А., Молдовян А.А. Введение в криптосистемы с открытым ключом. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 288 с.: ил.
8. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Советов Б.Я. Криптография. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001. – 224с.
9. Рябко Б.Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации: учебное пособие для вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2005. – 229 с.: ил.
10. Черемушкин А.В. Вычисления в алгебре и теории чисел. Курс лекций. — М.: 2002.
11. Шнайер Б. Прикладная криптография: Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Cи. – М.: Издательство ТРИУМФ, 2003 – 816 с., ил.
12. Diffie W., Hellman M.E. New directions in cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. – 1976. – V. 22. – P.644-654.
13. Goldwasser S., Bellare M. Lecture notes on cryptography. – Cambridge, Massachusetts, 2001. – 283 p.
14. Grundbegriffe der Kryptographie/ Vorlesungsscript von Eike Best - Oldenburg, 2005.
15. Menezes A., van Oorschot P., Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography. – CRC Press, 1996. – 661 p.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 744;