Частные приращения и частные производные первого порядка

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных несколько сложнее, чем в случае функций одной переменной, хотя в идейном плане повторяет и продолжает исследования, проводимые для функций одной переменной.

Пусть в области определена функция двух переменных . Пусть и – произвольные величины. Их будем называть приращениями независимых переменных (приращениямиаргументов) и , соответственно. Относительно приращений аргументов и будем требовать, что в область наряду с точкой принадлежать любая из рассматриваемых точек , , .

Определение 5.1. Частным приращением функции по переменной называется разность и обозначается :

.

Определение 5.2. Частной производной функции по переменной называется предел отношения приращения функции по переменной к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю и обозначается :

.

Используются и другие обозначения для частной производной функции по переменной : .

Аналогично определяются частное приращение и частная производная по переменной :

Определение 5.3. Частным приращением функции по переменной называется разность и обозначается :

.

Определение 5.4. Частной производной функции по переменной называется предел отношения приращения функции по переменной к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю и обозначается :

.

Используются и другие обозначения для частной производной функции по переменной : .

Частное приращение определяется при фиксированном значении переменной , а частное приращение определяется при фиксированном значении переменной . Это позволяет сформулировать правило:

· частная производная по переменной есть обычная производная по переменной , вычисленная в предположении, что другая переменная не меняется, то есть ;

· частная производная по переменной есть обычная производная по переменной , вычисленная в предположении, что другая переменная не меняется, то есть .

Пример 5.1. ; найти и .

Решение. Имеем

,

.

Пример 5.2. ; найти и .

Решение. Имеем

,

.