Производная неявной функции
8.1. Функция одной переменной. Пусть – функция двух переменных. Рассмотрим уравнение
. (1)
Предположим, что при каждом допустимом значении уравнение (1) имеет единственное решение . Это означает, что уравнение (1) задает неявную функцию , и, значит, для этой функции уравнение (1) превращается в тождество:
.
Пример 8.1. Дано уравнение
.
Из этого уравнения найти неявную функцию .
Решение. Ясно, что при каждом это уравнение имеет по единственное решение, определяемое формулой
.
Проверим выполнение тождества:
.
Следовательно, данное уравнение определяет единственную неявную функцию .
Переход от неявного задания к явному возможен далеко не всегда. Например, уравнение
задаёт как неявную функцию переменной , но мы не можем перейти к ее заданию с помощью формулы.
Не всякое уравнение задает неявную функцию, а некоторые – не одну. Например,:
1) уравнение
не задаёт неявную функцию;
2) уравнение
определяет две неявные функции, явные задания которых
и ;
3) уравнение
определяет бесконечно много неявные функции, явные задания которых
,
где – произвольное целое число.
При каких условиях уравнение (1) задает неявную функцию ? Имеет место следующая теорема существования неявной функции.
Теорема 8.1. Пусть:
1) функции , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки ;
2) ;
3) .
Тогда уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем .
Производную неявной функции , особенно в тех случаях, когда невозможен переход к явному виду, вычисляют по формуле
. (2)
Пример 8.2. Найти производную неявно заданную функцию уравнением
.
Решение. Полагая , имеем
,
.
По формуле (2) получаем
,
учитывая уравнение , получаем, что . Значит,
.
Найдем теперь производную, воспользовавшись явным заданием:
.
Ответ: .
2. Функция двух переменных. Пусть – функция трех переменных.
Аналогично теореме 8.1 можно сформулировать утверждение.
Теорема 8.2. Пусть:
1) функции , , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки ;
2) ;
3) .
Тогда уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем .
Для нахождения частных производных и неявной функции используются формулы, аналогичные формуле (2):
, . (4)
Пример 8.3. Найти и , если
.
Решение. Имеем
,
,
;
,
.
Ответ: , .
Дата добавления: 2020-04-12; просмотров: 317;