Производная неявной функции

8.1. Функция одной переменной. Пусть – функция двух переменных. Рассмотрим уравнение

. (1)

Предположим, что при каждом допустимом значении уравнение (1) имеет единственное решение . Это означает, что уравнение (1) задает неявную функцию , и, значит, для этой функции уравнение (1) превращается в тождество:

.

Пример 8.1. Дано уравнение

.

Из этого уравнения найти неявную функцию .

Решение. Ясно, что при каждом это уравнение имеет по единственное решение, определяемое формулой

.

Проверим выполнение тождества:

.

Следовательно, данное уравнение определяет единственную неявную функцию .

Переход от неявного задания к явному возможен далеко не всегда. Например, уравнение

задаёт как неявную функцию переменной , но мы не можем перейти к ее заданию с помощью формулы.

Не всякое уравнение задает неявную функцию, а некоторые – не одну. Например,:

1) уравнение

не задаёт неявную функцию;

2) уравнение

определяет две неявные функции, явные задания которых

и ;

3) уравнение

определяет бесконечно много неявные функции, явные задания которых

,

где – произвольное целое число.

При каких условиях уравнение (1) задает неявную функцию ? Имеет место следующая теорема существования неявной функции.

Теорема 8.1. Пусть:

1) функции , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

2) ;

3) .

Тогда уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем .

Производную неявной функции , особенно в тех случаях, когда невозможен переход к явному виду, вычисляют по формуле

. (2)

Пример 8.2. Найти производную неявно заданную функцию уравнением

.

Решение. Полагая , имеем

,

.

По формуле (2) получаем

,

учитывая уравнение , получаем, что . Значит,

.

Найдем теперь производную, воспользовавшись явным заданием:

.

Ответ: .

2. Функция двух переменных. Пусть – функция трех переменных.

Аналогично теореме 8.1 можно сформулировать утверждение.

Теорема 8.2. Пусть:

1) функции , , , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

2) ;

3) .

Тогда уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем .

Для нахождения частных производных и неявной функции используются формулы, аналогичные формуле (2):

, . (4)

Пример 8.3. Найти и , если

.

Решение. Имеем

,

,

;

,

.

Ответ: , .