Производная сложной функции. Полная производная

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : , . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной , а и – промежуточными переменными.

Теорема 7.1. Если функция дифференцируемая в точке , а функции и дифференцируемые по переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

.

Пример 7.1. ; , ; найти .

Решение. Имеем

,

,

,

.

Подставим в формулу :

.

Выразив и через , получим

.

Ответ: .

Частным случаем теоремы 7.1 является случай, когда . Тогда функция имеет вид: и является сложной функцией одной независимой переменной . Для производной сложной функции получаем формулу:

.

Эта формула носит название формулы полной производной.

Пример 7.2. ; ; найти и .

Решение. Имеем

,

,

,

.

Выразив через , получим

.

Ответ: ,

.

Рассмотрим общий случай. Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией двух независимых переменных и : , . Тогда является сложной функцией двух независимых переменных и . Частные производные сложной функции вычисляются следующими формулами:

,

.

Пример 7.3. ; , ; найти и .

Решение. Имеем

,

,

,

;

,

.

Выразив и через и , получим

,

.

Ответ: .

Пример 7.4. ; , ; найти и .

Решение. Имеем

,

,

,

;

,

.

Выразив и через и , получим

,

.

Ответ: ,

.