Частные производные высших порядков

Так как частные производные функции нескольких переменных сами можно рассматривать как функции нескольких переменных, то можно говорить и о их частных производных. Для исходной функции они называются частными производными второго порядка. Аналогично вводятся частные производные третьего порядка как частные производные от частных производных второго порядка и т. д.

Используются следующие обозначения для частных производных второг и третьего порядков на примере функции двух переменных :

· частная производная второго порядка по переменной :

; ;

· частная производная второго порядка по переменной :

; ;

· смешанные частные производные второго порядка:

; ;

; .

Для функций двух переменных можно имеется четыре частные производные второго порядка.

Пример 6.1. ; найти .

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

,

.

Найдем все частные производные второго порядка:

,

,

,

.

Ответ: ;

;

;

.

Отметим, что в решенном примере оказалось, что

.

Это свойство имеет место для всех функций, если эти производные являются непрерывными функциями. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 6.1. Если две смешанные частные производные одного порядка одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования являются непрерывными функциями, равны между собой.