Расчет электростатического поля двухпроводной заряженной линии в прямоугольном проводящем туннеле

Рассчитать: потенциал и напряженность электростатического поля в точке М

Решение

Потенциал ищется в виде наложения двух потенциалов

,

потенциала в точке М от заряженной линии при отсутствии проводящего туннеля ипотенциала в точке М от индуцированных зарядов на поверхности проводящего туннеля .

Так как туннель проводник, то на его поверхности потенциал результирующего поля постоянен и его можно принять равным нулю ( Q – точка на поверхности туннеля).

Следовательно

Потенциалы от заряженных осей (без учета индуцированных зарядов)

Потенциал на контуре следа туннеля

Потенциал в точке М

Для потенциала от индуцированных зарядов внутри туннеля будет справедливо уравнение Лапласа при заданном распределении этого потенциала на границе туннеля, то есть задача Дирихле.

Решением уравнения Лапласа являются функции , обладающие такими свойствами:

-значение потенциала в точке М равно среднему от потенциалов точек окрестности.

-потенциалы точек внутри области не могут быть больше максимального

значения на границе области и меньше наименьшего граничного значения

Эти свойства определяются теоремами теории потенциала (из курса математической физики) :

-теоремой о среднем;

-теоремой о максимуме и миниуме.

Теорема о среднем

Теорема о максимуме и миниуме

Свойства потенциала, полученные как решение уравнения Лапласа позволяют получать решение как аналитическими так и численными методами. Например, аналитически данная задача может быть решена методом разделения переменных. Среди численных методов можно отметить метод конечных элементов и метод сеток. Среди существующих математических пакетов прикладных программ в настоящее время можно выбрать необходимую для решения этой задачи.

Остановимся подробнее на численном методе сеток применительно к решению данной задачи Дирихле.

Для этого прямоугольную область (сечение туннеля) разбивают на ячейки (наносят сетку ) . В узлах сетки должны быть определены значения потенциалов.

Номера узлов сетки в представленной декартовой системе координат пронумерованы от 1 до 100.

По теореме о среднем (по обозначениям рисунка)

Метод сеток является итерационным методом последовательных приближений

при численном решении задачи Дирихле.

Решение начинается с произвольного задания значения потенциалов в узлах сетки, но эти значения не должны выходить за рамки максимального и минимального значений на границе туннеля в соответствии с теоремой о максимуме и миниуме потенциала. Далее проводится пересчет значений потенциалов в узлах сетки по вышеприведенной формуле. Значения потенциалов в узлах на границе туннеля при этом остаются неизменными .

Процесс пересчета потенциалов в узлах сетки называется итерациями. Из теории известно, что процесс итераций приближается к неизменяющемуся распределению потенциалов в узлах. Это установившееся распределение и является решением задачи Дирихле.

Количество итераций n определяется заданной по условию точностью расчета.