Синусоидального тока

Представление гармонических колебаний комплексными числами

Синусоидальное напряжение (ток) можно представить в виде мнимой части комплексного числа в показательной форме, составленного из амплитуды и фазы функции времени

Комплексное число

называется комплексной амплитудой напряжения и обозначается

Аналогичным образом можно получить комплексную амплитуду тока

На практике для расчетов электрических цепей синусоидального тока используют комплексы действующего значения напряжения и тока .

На комплексной плоскости комплексы действующего значения изображают по координатам ( ) в полярной системе координат

Напомним, что - это мнимая единица.

Комплексы в декартовой системе координат

Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Решение алгебраических уравнений в комплексных числах оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.

Соотношения между комплексными токами и напряжениями на идеализированных элементах электрических цепей

Электрическое сопротивление (резистор)

Если к резистору приложено синусоидальное напряжение, то через него протекает синусоидальный ток. Поставим в соответствие синусоидальному напряжению комплексное напряжение , а синусоидальному току – комплексный ток .

Действующее значение напряжения на резисторе пропорционально действующему значению тока

,

Начальная фаза напряжения на резисторе равна начальной фазе тока

.

Следовательно,

.

Идеальная катушка(индуктивный элемент)

Пусть синусоидальному напряжению на катушке соответствует комплексное напряжение , а синусоидальному току – комплексный ток .

Действующее значение напряжения на идеальной катушке пропорционально действующему значению тока

,

где - индуктивное сопротивление катушки. Напряжение опережает ток по фазе на 90^o ( )

.

Следовательно,

.

Комплексное напряжение на катушке пропорционально комплексному току

,

коэффициент пропорциональности

называется комплексным сопротивлением идеальной катушки.

Идеализированный элемент емкость (идеальный конденсатор)

Пусть синусоидальному напряжению на конденсаторе соответствует комплексное напряжение , а синусоидальному току – комплексный ток .

Действующее значение напряжения на конденсаторе пропорционально действующему значению тока

,

где

- емкостное сопротивление конденсатора. Напряжение отстает от тока по фазе на 90^o ( )

.

Следовательно,

.

Комплексное напряжение на конденсаторе пропорционально комплексному току

,

коэффициент пропорциональности

называется комплексным сопротивлением конденсатора