Понятие о задачах оптимизации

В наиболее общем смысле, теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив, позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов.

Более корректно, в математике, информатике и исследовании операций, оптимизация понимается как задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку обычно функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектиро­вать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Оптимизационные методы, позволяющие осу­ществить выбор наилучшего варианта без непосредственной про­верки всех возможных вариантов, являются, как правило, методами математическими. Поэтому для изложения методологиче­ских основ оптимизации требуется привлечение важнейших резуль­татов теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциаль­ного исчисления, а также положений математического анализа.

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование, вариационное исчисление и теория оптимального управления.

Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных задач с ограничениями вида функций. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.

Присутствие в названии дисциплины термина «программирование» объясняется тем, что первые исследования и первые приложения линейных оптимизационных задач были в сфере экономики, так как в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ. Вполне естественно, что терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией (изучение оптимальной экономической программы). Термин «линейное программирование» был предложен Данцигом в 1949 году для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях. Поэтому наименование «математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор оптимальной программы действий.

Поскольку размерность инженерных задач, как правило, до­статочно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптими­зации требуют значительных затрат времени, оптимизационные методы ориентированы, главным образом, на реализацию с помощью ЭВМ.

Вариационное исчислениезанимается задачами, связанными с нахождением экстремумов (максимальных или минимальных значений), но экстремумов не функций, а функционалов.

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданного критерия качества системы.

Применение методов оптимизации в инженерной практике.Теория оптимизации находит широкое и эффективное применение во всех направлениях инженерной деятельности и, в первую очередь, в следующих четырех ее областях:

· Проектирование систем и их составных частей;

· Планирование и анализ функционирования существующих систем;

· Инженерный анализ и обработка информации;

· Управление динамическими системами.

Три первых области применения методов оптимизации существенно отличаются от четвертой, прежде всего по используемым моделям, критериям оптимизации и методам решения задачи оптимизации. Эти три направления обычно относят к задачам математического программирования, а четвертое направление рассматривают отдельно, как решение задач оптимального управления.

Необходимые условия для применения оптимизационных методов.Формулировка задачи оптимизации включает три этапа: 1) словесное представление о параметрах задачи, множестве ее решений и поставленной цели; 2) запись критерия оптимальности (целевой функции) как функции параметров задачи; 3) запись условий, определяющих область допустимых значений параметров.