Метод суперпозиции (потенциалов)

Решение задач будем строить методом суперпозиции (наложения) потоков и методами теории функций комплексного переменного.

Метод суперпозиции заключается в следующем.

а б

Рис. 7.2. Схема векторного сложения скоростей фильтрации в произвольной точке М при работе нескольких источников и стоков

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.7.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 7.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал

, (7.1)

где i – номер скважины; r_i– расстояние между некоторой точкой пласта М и центром скважины под номером i.

Пользуясь методом суперпозиции, определяем потенциал сложного потока:

, (7.2)

где .

Зависимость (7.2) физически означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Так как. пласт предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равен бесконечности. В центрах стоков-источников (r_i=0) потенциал также равен бесконечности.

Если жидкость несжимаема, то в зависимости (7.2), вместо массовых дебитов, можно использовать объёмные дебиты Q.

Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей (изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значение потенциала (давления) должно оставаться неизменным. Таким образом, приравнивая (7.2) к некоторой постоянной, получаем:

, (7.3)

где П – знак произведения; С₁ – постоянная.

Если дебиты всех скважин равны по величине, то

, (7.4)

где обозначение sign означает знак параметра G_i .

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам.

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта. Фиктивные скважины, в совокупности с реальными, обеспечивают необходимые условия на границах, и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методом отображения источников и стоков.

Формула (7.2) – основная в решении задач интерференции скважин. Рассмотрим применение этой формулы в случаях: фильтрационного потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной; пласта с произвольным контуром питания, но удалённым от скважин и пласта с прямолинейным контуром питания.