Метод деления / умножения

Правило перевода целых чисел. Для перевода целого числа N_p, представленного в системе счисления с основанием P, в систему счисления с основанием q необходимо данное число делить на основание q (по правилам системы с основанием P) до получения целого остатка, меньшего q. Полученное частное снова необходимо разделить на основание q и т.д., пока последнее частное не станет меньше q. Число N_q в новой системе счисления представится в виде упорядоченной последовательности остатков в порядке, обратном их получению. Причем цифру старшего разряда дает последнее частное.

Пример 2.2.1 Перевести десятичное число 157₁₀ в двоичный код, результат проверить.

Проверка: 10011101₂ = 1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ +1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 128 + 16 + 8 + 4 +1 =157₁₀.

Пример 2.2.2 Перевести десятичное число 157₁₀ в восьмеричный код, результаты проверить.

Проверка: 235₈ = 2×8² + 3×8¹ + 5×8⁰ = 128 + 24 + 5 = 157₁₀.

Пример 2.2.3 Перевести десятичное число 157₁₀ в шестнадцатеричный код, результат проверить.

Проверка: 9D₁₆ = 9×16¹ + 13×16⁰ = 144 + 13 = 157₁₀.

Для облегчения работы с двоичными кодами желательно знать наизусть десятичные значения чисел 2ⁿ от n = 0 до n = 14. (Таблица 2.1)

Таблица 2.1

Правило перевода правильной дроби. Перевод правильной дроби N_p, представленной в системе счисления с основанием р, в систему с основанием q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание q (по правилам системы счисления с основанием р), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь N_q в системе счисления с основанием q представится в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения, где цифра старшего разряда является первой цифрой первого произведения. Если требуемая точность перевода есть q^–k, то число последовательных произведений равно k.

Пример 2.2.4 Перевести десятичную дробь 0,3697₁₀ в двоичную систему счисления с точностью до 2^–7.

0,3697 0,7394 0,4788 0,9576 0,9152 0,8304 0,6608

´ 2´ 2´ 2 ´ 2´ 2´ 2´ 2

1,3216 0,7394 1,4788 0,9576 1,9152 1,8304 1,6608

направление чтения

Искомое число в двоичном коде будет равно 0,3697₁₀ =

= 0,0101111₂

Произведем проверку перевода:

0,0101111₂ = 0×2^–1 + 1×2^–2 + 0×2^–3 + 1×2^–4 + 1×2^–5 + 1×2^–6 + 1×2 ^–7 =

= 0,3671875.

Пример 2.2.5 Перевести 0,3697₁₀ = в восьмеричный код с точностью q^–3.

0,3697 0,9576 0,6608

´ 8´ 8´ 8

2,9576 7,6608 5,2864

направление чтения

Восьмеричный код числа 0,3697₁₀ = 0,275₈

Проверка перевода:

0,275₈ = 2×8^-1 + 7×8^-2 + 5×8^-3 = 0,369140625₁₀.

Пример 2.2.6 Перевести число 0,3697₁₀ в шестнадцатеричный код с точностью q^–2.

0,3697 0,9152

´ 16´ _ 16

5,9152 14,6432

направление чтения

Шестнадцатеричный код числа 0,3697₁₀ = 0,5E₁₆

Проверка перевода дает:

0,5E₁₆ = 5×16^–1 + 14×16^–2 = 0,3671875₁₀.

При переводе смешанных чисел необходимо отдельно перевести целую и дробную части, а полученные результаты объединить.

Метод вычитания

На первом шаге определяется старший разряд двоичного числа n для переводимого десятичного числа N₀ из условия

2 ⁿ⁺¹ > N₀ ³ 2 ⁿ

и в этот разряд вписывается единица. Затем из исходного числа N₀ вычитается 2ⁿ и находится первая разность:

DN₁ = N₀ – 2ⁿ.

Для этой разности находится следующая максимальная степень числа 2 (в порядке убывания), и производится вычитание, а в соответствующий разряд вписывается единица. Эта процедура продолжается до тех пор, пока десятичное число не станет равным нулю. Разряды, в которых отсутствуют единицы, заполняются нулями.

Пример 2.2.7 Перевести десятичное число 83 в двоичный код.

В итоге имеем 83₁₀ = 1010011₂.

Перевод дробного десятичного числа выполняется аналогично. Процедура продолжается до получения заданной степени точности.

Пример 2.2.8 Перевести дробное десятичное число 0,5725 в двоичный код методом вычитания (с точностью до семи разрядов).

Подобным образом переводятся десятичные числа в восьмеричный и шестнадцатеричный коды.

Перевод чисел из восьмеричной, шестнадцатеричной системы счисления и обратно. Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждую цифру этого числа необходимо записать трехразрядным двоичным числом (триадой). При этом восьмерично-двоичный код совпадает с двоичным.

Пример 2.2.9

(235,275)₈ = 010 011 101, 010 111 101_{8– 2} =10011101, 010111101₂

2₈ 3₈ 5₈, 2₈ 7₈ 5₈.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на триады и записать каждую группу цифрой в восьмеричной системе. Крайние неполные триады дополняются нулями.

Пример 2.2.10

10101,0111₂ = 010 101, 011 100_8–2 = 25,34₈

2₈ 5₈, 3₈ 4₈.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать тетрадой, при этом шестнадцатерично-двоичный код совпадает с двоичным, поскольку 16 = 2⁴ .

Пример 2.2.11

9D,5E₁₆ = 1001 1101, 0101 1110_16–2 = 10011101,0101111₂

9₁₀ 13₁₀ , 5₁₀ 14₁₀.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на тетрады и каждую тетраду представить шестнадцатеричной цифрой.

Пример 2.2.12

111100,10101₂ = 0111 1100, 1010 1000_16–2 = 7C,A8₁₆ ,

7₁₆ С₁₆ , А₁₆ 8₁₆.

Основными недостатками двоичной системы счисления являются большая длина разрядной сетки по сравнению с другими системами счисления, необходимость перевода исходных числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную, а результатов решения − из двоичной в десятичную.

Двоично-десятичная система счисленияимеет основание d = 10, и каждая цифра (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) изображается в этой системе счисления четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Она используется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало. Десятичные числа в двоично-десятичной системе счисления кодируются в прямом нормально-взвешенном коде 8-4-2-1, т.е. каждую цифру десятичного числа необходимо заменить соответствующей тетрадой двоичных чисел.

Для перевода десятичного числа в двоично-десятичный код, десятичный символ следует заменить его двоичным изображением в виде тетрады.

Пример 2.2.13

91,37₁₀ = 1001 0001, 0011 0111_2–10

9₁₀ 1₁₀, 3₁₀ 7₁₀

Для перевода двоично-десятичного числа в десятичное необходимо исходный код разбить на тетрады вправо и влево от запятой (неполные тетрады дополнить нулями) и заменить полученные тетрады соответствующими десятичными символами.

Пример 2.2.14

11001,00111_2–10 = 0001 1001, 0101 1000 = 19.58₁₀

1₁₀ 9₁₀ , 5₁₀ 8₁₀

В таблице 2.2 приведены изображения десятичных чисел 0...20 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном кодах.

Таблица 2.2

Продолжение таблицы 2.2

Код 7421 отличается тем, что любая кодовая комбинация содержит не более двух единиц. В коде 2 из 5 все кодовые комбинации содержат только две единицы из пяти. Это свойство используется для выявления ошибок в кодовых комбинациях (любое отклонение от этого указывает на ошибку). При выполнении арифметических операций широко используются самодополняющиеся коды, инверсия двоичных цифр в которых дает дополнение до 9. Таким свойством обладают код 2-4-2-1, код с избытком 3, код с избытком 6. Например, в коде с избытком 6 цифре 0 соответствует кодовая комбинация 0110, ее инверсия 1001 соответствует цифре 9 (в коде 8-4-2-1), сумма этих чисел 0 и 9 дает 9 (1111) и т.д.(Таблица 2.3).

Таблица 2.3

2.3 Формы представления чисел в цифровых устройствах

В цифровой технике применяют две формы представления чисел: с фиксированной и плавающей точкой. Эти формы называют соответственно естественной и полулогарифмической.

Представление чисел с фиксированной точкой.

В случае фиксированной точки (запятой) для всех чисел, над которыми выполняются операции в машине, положение точки строго фиксировано – порядок числа P в машине постоянен. Выбор величины P при использовании чисел с фиксированной точкой (запятой), в принципе, может быть произвольным. Положение точки закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, при этом точка никак не выделяется в коде числа, а только подразумевается. Множество чисел, которые могут быть изображены с помощью n разрядов, представляют собой на числовой оси ряд из 2ⁿ равностоящих точек с дискретностью, равной весу младшего разряда, которые заполняют некоторую область между N_min и N_max. Любое число между N_min и N_max может быть изображено с абсолютной погрешностью, не превышающей половины младшего разряда. Для хранения целых чисел в ячейках памяти предусматривается распределение разрядов (разрядная сетка), показанное в таблице 2.4.

Таблица 2.4

знаковый разряды модуля числа

Для всех представляемых чисел их знаки плюс или минус, как правило, обозначают цифрами 0 и 1 соответственно и располагают перед старшим разрядом кода числа (таблица 2.5).

Каждый разряд двоичного числа называют битом. Восьмибитовая единица получила название байт.

Таблица 2.5

знаковый разряды модуля числа

Если точка фиксирована после младшего разряда, то могут быть представлены только целые числа. Диапазон представления целых без знаковых чисел:

Если количество значащих разрядов модуля числа превышает n–1, происходит потеря старших разрядов модуля. Это явление называется переполнением разрядной сетки и приводит к ошибке в представлении числа. Учет знака приводит к уменьшению диапазона представляемых чисел.

При представлении дробных чисел запятая фиксируется перед старшим разрядом. Диапазон представления дробных чисел:

Если представляемое число меньше N_min, происходит обнуление разрядной сетки.

При представлении смешанных чисел запятая фиксируется (подразумевается) между целой и дробной частью:

целая часть дробная часть

знаковый разряд

Работа вычислительных устройств с фиксированной точкой используется в основном для управления технологическими процессами и обработки информации в реальном масштабе времени. При выполнении операций с фиксированной точкой основным операндом в ЭВМ является 32-разрядное, в микро- и мини-ЭВМ – 16-разрядное, а в микропроцессорах – 8-разрядное слово (байт). В упакованном формате в одном байте размещаются две десятичные цифры.

Основное достоинство представления чисел с фиксированной запятой (точкой) заключается в том, что имеется возможность построить несложные арифметические устройства с высоким быстродействием.