Прямая линия на плоскости

Прямую можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Уравнения прямой на плоскости получаются из уравнений прямой в пространстве, если из них исключить координату z (при z=0).

Ax+By+C=0 − общее уравнение прямой на плоскости .
Здесь А, В – координаты вектора, перпендикулярного прямой.

Если А=0(В=0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С=0, то прямая проходит через начало координат.

.− уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) перпендикулярно вектору .

− каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) параллельно направляющему вектору .

− параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) параллельно направляющему вектору . Здесь t − параметр, .

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать как условие коллинеарности векторов , где M(x,y) – произвольная точка прямой. Получаем искомое уравнение в виде

− уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть прямая составляет угол с осью ох. Угловым коэффициентом прямой k называется число .

Прямая может быть задана точкой М₁(x₁,y₁) и угловым коэффициентом k или двумя точками М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если :

, где и .

Прямая пересекает ось OY в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

, ,

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду: − уравнение прямой “в отрезках”.

Прямая в отрезках пересекает ось ox в точке А(а,0) и ось oy в точке В(0,b).

Если известно расстояние от прямой до начала координат и угол a между перпендикуляром к прямой и осью OX, то из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z=0 и учитывая, что

, получим

.− нормальное уравнение прямой на плоскости

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель . Знак числа m должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью ox равен a и угол между прямой и осью oy равен b, то .

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой , d = | |: .

По этой формуле положительно, если точка М₀ и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае отрицательно.

Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0и A₂x+B₂y+C₂=0, то координаты точки их пересечения (x₀, y₀)получаются как решение системы уравнений

по формулам Крамера в виде при

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями:

Острый угол j пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0и A₂x+B₂y+C₂=0, то они параллельны, если , и перпендикулярны, если .

Прямые y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂ параллельны друг другу,

если , : k₁=k₂,

и перпендикулярны друг другу, если , : .