Преобразования координат

Теорема. Если в декартовой системе координат задано уравнение , (*)
то существует такая декартовая система координат, в которой это уравнение приобретает один из следующих канонических видов:

1. − эллипс,

2. − мнимый эллипс,

3. − пара мнимых пересекающихся прямых,

4. − гипербола

5. − сопряженная гипербола,

6. − пара пересекающихся прямых,

7. − парабола,

8. − пара параллельных прямых ( или совпавших при а=0),

9. − пара мнимых параллельных прямых.

К каноническому виду уравнение (*) можно привести различными способами.

Параллельный перенос.

Если в уравнении (*) коэффициент 2В=0, то к каноническому виду уравнение приводится параллельным переносом осей координат по формулам:

(1) (2)

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O₁(x₀,y₀), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2):

1. - уравнение окружности с центром в точке O₁(x₀,y₀) и радиусом R;

2. - уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O₁(x₀,y₀);

3. - уравнение параболы с вершиной в точке O₁(x₀,y₀).

Поворот координатных осей

Если в уравнении (*) коэффициент , то к каноническому виду уравнение приводится поворотом осей координат по формулам:

(3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.

Угол α может быть найден по формуле:

. (4)

Если А=С то угол α принимают равным π/4.

Пример. Приведите уравнение к каноническому виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:
, .

Дополним члены в скобках до полных квадратов:
, .

Введем новые координаты: , , , ,

то есть точка – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

, определяет эллипс с полуосями , который в исходной системе координат имеет центр в точке .

Пример. Определите вид кривой

Определим угол поворота осей по формуле (4):

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

, .

с полуосями , .