Деформационная теория пластичности

Выше было показано, что существует подобие диаграмм Мора для напряжений и деформаций в упругой области. Это положение является справедливым и для пластической области в условиях простого нагружения. Кроме этого направления главных линейных деформаций (удлинений) должно совпадать с направлением главных нормальных напряжений. В соответствии с положением о подобии диаграмм Мора в каждый момент пластической деформации имеет место соотношение:

,

где – модуль пластичности второго рода, являющийся величиной переменной

Из соотношений , , и условия несжимаемости , определим значение :

.

Поступая аналогичным образом с другими сочетаниями уравнений, получим с учетом :

Коэффициент перед суммами напряжений представляет собой коэффициент Пуассона. Из последних выражений следует, что выражения для пластических деформаций аналогичны выражениям для упругих деформаций с той лишь разницей, что модуль упругости первого рода заменен модулем пластичности первого рода, при этом , а при , , где - модуль пластичности первого рода, величина переменная.

Из обобщённого закона упругости можно сделать ряд выводов, которые используются в теории пластичности. Например, линейное напряженное состояние и объёмное определяются уравнениями связи формально одинакового вида , , тогда .

Полученное соотношение, в какой-то степени, объясняет гипотезу единой кривой. При пластической деформации в случае сложного напряженного состояния могут появиться области, где направление процесса (нагружение или разгрузка) может изменяться. Нагружение сменяется разгрузкой и наоборот. Это приведет к изменению главных направлений девиаторов деформаций и напряжений. Поэтому при сложном напряженном состоянии нагружение может быть как простым, так и сложным.

Связь напряжений и деформаций при простом нагружении в зоне пластического течения с учетом условия постоянства объема, т.е. :

,

тогда:

; ,

; ,

; .

Применение деформационной теории пластичности может быть использовано в случае простого или близкого к нему нагружения. Выражением простого нагружения в процессах обработки металлов давлением является понятие монотонности. Условие монотонности позволяет распространять деформационною теорию пластичности, созданную для малых упругопластических деформаций, на конечные, т.е. большие деформации, которые сопровождают процессы ОМД.