Постановка задачи теории упругости.

На базе изложенного теоретического материала появляется возможность спрогнозировать результат, определить напряженно-деформированное состояние в каждой точке очага деформации, т.е. рассчитать его. При этом отпадает необходимость производить многочисленные промежуточные преобразования и доказательства, а среди полученных конечных математических зависимостей выбрать те, которые необходимы для создания математической модели процесса упругого деформирования. К ним относятся: дифференциальные уравнения равновесия, физические уравнения связи напряжений и деформаций, геометрические соотношения или уравнения неразрывности деформаций, граничные или краевые условия задачи. В результате можно сформировать систему дифференциальных и алгебраических уравнений, которую называют постановочной системой уравнений теории упругости. Таким образом, имеем следующую постановку задачи теории упругости:

дифференциальные уравнения равновесия;

,

,

.

физические уравнения связи напряжений и деформаций;

, ;

, ;

, .

дифференциальные уравнения неразрывности деформаций;

,

,

,

,

,

.

граничные условия;

;

;

.

Для решения задачи имеем 18 неизвестных и 18 уравнений теории упругости, включая граничные условия. Система статически определимая. Однако ее решение имеет большие математические трудности, что заставляет искать решения в упрощенном варианте. В представленной постановке задача считается замкнутой, т.к. решение должно удовлетворять уравнениям относящихся к напряжениям, так и деформациям. В противном случае задача считается не замкнутой. Последовательность решения следующая: Из уравнений равновесия определяются компоненты тензора напряжений, далее через физические уравнения связи - компоненты тензора деформаций, компоненты тензора деформаций должны удовлетворять уравнениям неразрывности деформаций.