Геометрический смысл производной

Пусть функция отображает некоторую окрестность точки в окрестность точки и всякую дугу в дугу Г.

Пусть (1)

Из (1) следуют равенства (см. (6) §1)

(2)

(3)

Запишем равенство (2) в виде

(2')

и дадим его геометрическую интерпритацию. это угол наклона секущей, проходящей через точки и , а угол наклона секущей, проходящей через точки и Т.к. предельное положение секущей есть касательная, то можно переписать так:

(4)

где и углы наклона соответствующих касательных (см. рис. 6). Из (4) ясен геометрический смысл аргумента производной. Это угол поворота касательной при отображении Поскольку производная не зависит от того, по какой кривой z стремится к , то ясно, что все бесконечно малые дуги, выходящие из точки , при отображении функций поворачиваются на один и тот же угол если

Следствие. Угол между кривыми, проходящими через точку , при отображении аналитической функцией не изменяется, если Это свойство данного отображения называют свойством сохранения углов.

Рассмотрим геометрический смысл равенства (3). Модули разности и есть расстояния между точками и , и соответственно. Поэтому коэффициент растяжения (сжатия) бесконечно малой дуги в точке при отображении функцией Коэффициент растяжения не зависит от направления дуги, поэтому это свойство данного отображения называют свойством постоянства растяжения.

Отображение, осуществляемое аналитической функцией, называют конформным в точке, в которой производная отлична от нуля. Если в каждой точке области то аналитическая функция осуществляет конформное отображение области на область

Пример.Рассмотрим отображение Производная обращается в нуль только в точках следовательно, отображение конформно всюду, исключая точки это означает, что бесконечно малые дуги, проходящие через точку при отображении функцией поворачиваются на угол и растягиваются в шесть раз.

Если взять в плоскости z бесконечно малый треугольник, одна из вершин которого совпадает с точкой z₀, то при отображении аналитической функцией в плоскости w ему будет соответствовать криволинейный треугольник с вершиной в точке Соответственные углы этих треугольников будут равны в силу свойства сохранения углов, а отношения соответственных сторон с точностью до бесконечно малых будут равны коэффициенту растяжения в точке z₀.Такие треугольники называют подобными. Отсюда и название конформное отображение, т. е. cохраняющее форму.