Кинематический анализ механизма манипулятора

Первая и основная задача кинематики – определение функции положения. Для пространственных механизмов наиболее эффективными методами решения этой задачи являются векторный метод и метод преобразования координат. При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат. Из множества методов преобразования координат, которые отличаются друг от друга правилами выбора осей локальных систем координат, для манипуляторов обычно используется метод Денавита и Хартенберга.

При решении задачи о положениях необходимо: в прямой задаче определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной – заданное положение выходного звена представить как функцию перемещений в приводах. Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен обеспечивать выполнение этих задач. При использовании метода Денавита и Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:

1. Для звена i ось z_i направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

2. Ось xi направляется по общему перпендикуляру к осям z_i-1 и z_i с направлением от z_i-1 к z_i. Если оси z_i-1 и z_i совпадают, то x_i перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось x_i направляется по правилу векторного произведения (кратчайший поворот оси z_i до совмещения с z_i-1 при наблюдении с конца x_i должен происходить против часовой стрелки).

3. Ось y_i направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положения схвата манипулятора и связанной с ним системы координат Mx_ny_nz_n по отношению к неподвижной, или базовой, системе координат Kx₀y₀z₀. Это осуществляется последова­тельными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу каждый переход включает в себя последовательность четырех движений – двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (см. рис. 2.1):

• поворот i-й системы вокруг оси x_i на угол -q_i до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки);
• перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси x_i от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1);
• перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i);
• поворот вокруг оси z_i-1 на угол -j_i до тех пор, пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой (i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.

В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары – или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения, как вращательное, так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются (рис. 2.1) цилиндрические пары.

Рис. 2.1. Переход из системы координат звена i в систему координат звена i-1

Матрицы перехода их системы O_i в систему O_i-1 можно записать так:

,

где – матрица поворота вокруг оси x_i на угол -q_i , – матрица переноса вдоль оси x_i на -a_i, – матрица переноса вдоль оси z_i-1 на -s_i, – матрица поворота вокруг оси z_i-1 на угол -j_i.

В этих матрицах переменные s_i и j_i соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные a_i и q_i определяются конструктив­ным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.

Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором r_Mi, а в системе координат звена (i-1) – вектором r_Mi-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат М_i следующим уравнением:

,

где – матрица перехода из i-й системы координат в (i – 1)-ю.

.

Рассмотрим шестиподвижный манипулятор в исходном, или начальном, положении (рис. 2.2). За начальное положение принимается такое, в котором все относительные обобщенные координаты равны нулю. Переход из системы координат любого i-го звена к неподвижной или базовой системе записывается в виде

или ,

где – матрица преобразования координат i-й системы в координаты базовой системы координат.

Рис. 2.2. Шестиподвижный манипулятор в исходном, или начальном, положении

Для схемы, изображенной на рис. 2.2, радиус r_M6 = 0, а радиус r_M0 определяется по формуле

,

то есть положение выходного звена манипулятора определяется матрицей Т_n. Элементы этой матрицы определяют положение центра схвата точки М и ориентацию его в пространстве. Четвертый столбец определяет декартовы координаты точки М (проекции вектора r_M0на оси координат). Третий столбец содержит направляющие косинусы оси z_n системы координат, связанной со схватом, или вектора подхода , который характеризует направление губок схвата (рис. 2.3). Второй столбец определяет направление оси y_n или вектора ориентации , который проходит через центр схвата по оси, перпендикулярной к рабочим поверхностям его губок. В первом столбце содержатся направляющие косинусы оси x_n или вектора . Углом подхода схвата α называется угол между вектором подхода и базовым вектором:

,

где – орт вектора неподвижной, или базовой, системы координат. С учетом сказанного матрица T_n может быть представлена в следующем виде:

.

Рис. 2.3. Ориентация схвата манипулятора

В результате матричных преобразований получаем радиус-вектор точки М схвата в функции обобщенных координат. Обычно за обобщенные координаты принимают линейные и угловые перемещения в кинематических парах или на выходных валах приводов манипулятора. В механизме с n подвижностями в общем виде функцию положения схвата можно записать так:

где q₁, q₂, ... q_n – обобщенные координаты манипулятора.

При кинематическом анализе манипулятора в прямой задаче необходимо определить линейные и угловые скорости и ускорения схвата при заданных угловых и линейных обобщенных скоростях и ускорениях (обычно относительных скоростях и ускорениях в кинематических парах механизма). В обратной задаче по заданному закону изменения скоростей и ускорений схвата определяются законы изменения скоростей и ускорений в КП или на выходных звеньях приводов. Решение прямой задачи кинематики для точки М схвата можно получить, продифференцировав четвертый столбец матрицы Т_n по времени:

.

Угловую скорость и угловое ускорение схвата можно определить векторным суммированием относительных угловых скоростей во вращательных КП механизма. Так как векторы угловых скоростей при данном выборе ориентации осей координат совпадают с осью z, то угловая скорость схвата

где – орт оси z системы координат, расположенной в центре КП, соединяющей звено i и звено i-1, m – число вращательных КП в механизме.

Дифференцируя это выражение по времени, получим формулу для определения углового ускорения схвата: