Частотный метод определения симметричных колебаний

Передаточная функция разомкнутой нелинейной САУ рис. 2.2 будет , где имеет вид (2.48), а АФЧХ разомкнутой системы соответственно будет , где имеет вид (2.49), т.е.

.

Наличие в характеристическом уравнении пары чисто мнимых корней , соответствующих периодическому режиму , в соответствии с критерием устойчивости Найквиста будет в том случае, если АФЧХ разомкнутой системы в комплексной плоскости пройдет через точку с координатами , т.е. должно выполняться условие

,

или

, (2.64)

где .

Решение уравнения (2.64), если оно существует, определяет амплитуду и частоту искомого периодического режима. Это уравнение можно решить аналитически, выделив действительные и мнимые части и приравняв их друг к другу, либо графическими. В последнем случае на комплексной плоскости наносится АФЧХ линейной части и обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейности с обратным знаком . В точке их перечисления по кривой находится частота , а по кривой амплитуда искомого периодического режима, как это изображено на рис. 2.17.

Рис. 2.17

Для определения периодического режима можно воспользоваться логарифмическими характеристиками. Из (2.64) можно получить

,

.

Вводя логарифмическую характеристику , можно записать

, (2.65)

. (2.66)

Выражения (2.65) и (2.66) называют балансом амплитуд и фаз.

В соответствии с (2.65), (2.66) строятся четыре графика: , , соответствующие линейной части, и , , соответствующие нелинейному элементу. Частота откладывается в логарифмическом масштабе, амплитуда в обычном. Далее находятся такие и , при которых (2.65), (2.66) выполняются. Наиболее просто и определяются для однозначных нечетно-симметричных нелинейностей, для которых .

Для определения устойчивости периодического режима, если он существует, можно воспользоваться следующим приближенным правилом [3]: если при движении по кривой в сторону возрастания величины пересечение кривой происходит изнутри наружу, то найденный режим устойчив, если наоборот, то неустойчив. На рис. 2.17 показан случай устойчивого периодического режима.

Отметим следующую особенность возникновения периодических режимов, исходя из изложенного метода гармонического баланса. Для нелинейностей, у которых , характеристика совпадает с отрезком, лежащим на отрицательной полуоси действительной оси. Ввиду этого, если при изменении от 0 до полностью находится в третьем и четвертом квадрантах комплексной плоскости, т.е. АФЧХ не пересекает отрицательную полуось, то периодические режимы в такой системе невозможны. Например, если передаточная функция линейной части имеет вид

,

то при в случае периодических режимов в системе не будет.

Пример 2.5. Рассмотрим систему с нелинейностью в виде идеального реле с зоной нечувствительности, для которой

а передаточная функция нелинейной части имеет вид

.

Для данного вида нелинейности , а коэффициент определяется выражением

, .

Зависимость .

На рис. 2.18 изображены графики и . Последняя характеристика имеет две ветви, совпадающие с отрицательным отрезком действительной оси. При изменении от до происходит движение изображений точки слева направо по верхней ветви кривой , а при – вдоль нижней ветви кривой. При выполняется соотношение .

Рис. 2.18

Выражения АЧХ и ФЧХ линейной части системы имеют вид:

,

.

АФЧХ пересекает отрицательную полуось при , что дает значение частоты . При этой частоте модуль АЧХ будет равен . В системе невозможны периодические режимы, если , т.е. при

.

Если последнее неравенство не выполняется, то в системе возможны два периодических режима с амплитудами и , , как показано на рис. 2.18. Амплитуды и определяются из решения уравнения

.

Применяя предложенный выше критерий устойчивости периодического режима, приходим к выводу, что режим с частотой и амплитудой будет устойчивым, т.е. в системе возникнут автоколебания.