Метод точечного преобразования

Метод точечного преобразования является усовершенствованным методом припасовывания с привлечением геометрического аппарата фазовой плоскости и применяется в основном для анализа свободных режимов в системах второго порядка.

Пусть система описывается уравнениями (2.11), а уравнения для фазовых траекторий будут (2.13). На фазовой плоскости нарисуем отрезок линии , как показано на рис. 2.12, который пересекается фазовыми траекториями в одном направлении. Пусть – начальная точка пересечения фазовой траекторией этого отрезка, а – последующая при движении по данной фазовой траектории. Обозначим через и соответствующие расстояния точек и до точки 0 (начала координат). Точка называется последующей по отношению к исходной (предыдущей) точке . Зависимость

(2.36)

будем называть функцией последования, которая определяет закон точечного преобразования вдоль отрезка .

Так как фазовые траектории всюду плотно заполняют фазовое пространство, то исходные и последующие точки всюду плотно заполняют отрезок .

Рис. 2.12

По виду функции последования можно качественно судить о поведении фазовых траекторий и виде фазового портрета, а в ряде случаев и определить количественные характеристики процессов в системе.

В соответствии, например, с рис. 2.12 можно сделать ряд следующих выводов. Если величина , то фазовые траектории приближаются к началу координат. Если , то все фазовые траектории удаляются от начала координат. Если в процессе точечного преобразования , то на фазовой плоскости существует замкнутая кривая, соответствующая предельному циклу.

Рис. 2.13

Исследование поведения системы с помощью точечного преобразования удобно проводить, используя график функции . На рис. 2.13 изображен график функции и через начало координат проведена прямая, совпадающая с биссектрисой первого квадранта плоскости .

Ход точечного преобразования следующий. Выбираем исходную точку на оси − точку , для нее находим координату последующей точки на кривой . Далее используем найденную последующую, принимаем ее за исходную и находим опять последующую. Ход точечного преобразования из точки показан стрелками. Итак, по ходу стрелок видно, что мы приближаемся к точке , в которой . Для исходной точки картина точечного преобразования повторяется. Таким образом, в точке существует устойчивый предельный цикл (автоколебания). Обратная картина будет относительно точки , где есть предельный цикл, но он неустойчив.

Графики, подобные приведенному на рис. 2.13, называются диаграммами точечного преобразования.

Определение функции часто трудоемкая задача. Проще эту функцию задать в параметрической форме, когда и зависят от некоторого параметра. В качестве такого параметра выбирают величину − время прохождения из точки в последующую точку по ходу фазовой траектории. Итак, находят уравнения

, , (2.37)

которые являются параметрической формой задания зависимости .

Рис. 2.14

На рис. 2.14 приведен пример точечного преобразования при параметрической форме задания кривых (2.37). Точка с координатами , соответствует наличию устойчивого предельного цикла (автоколебаний). При этом величина − период автоколебаний. Конкретные примеры применения точечного преобразования можно найти в [6, 7].