Устойчивость процессов в нелинейных системах

Основные понятия и определения

Раздел, посвященный анализу устойчивости систем автоматического управления, является традиционным при изложении курса ТАУ. Объясняется это тем, что системы управления с обратными связями (кибернетические системы) склонны к неустойчивости. Устойчивостью любого явления в природе называют его способность достаточно длительно сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает существовать. Применительно к САУ этими явлениями являются протекающие в них процессы.

Основные определения и методы анализа устойчивости были даны в работах крупнейшего российского математика Ляпунова А.М.

Рассмотрим простейший случай нелинейной системы первого порядка рис. 2.2, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением

, (2.68)

где − входное воздействие, − исследуемая координата.

Пусть при задано начальное значение искомого решения и задано определенное входное воздействие при . В этом случае уравнение (2.68) имеет определенное решение , которое будем называть невозмущенным процессом (решением, движением). Любое другое решение, обусловленное другими начальными условиями , но при том же воздействии , будем называть возмущенным и обозначать . Задача ставится следующим образом: как ведет себя возмущенное движение относительно невозмущенного с течением времени, т.е. при , или как ведет себя отклонение при . Решение этой задачи и составляет предмет математической теории устойчивости.

Анализ поведения решений исходного уравнения можно заменить анализом тривиального решения уравнения

, (2.69)

полученного из (2.68) заменой .

Уравнение (2.68) называется уравнением возмущенного движения в отклонениях. Это уравнение всегда имеет решение .

Рассмотрим общий случай нелинейной системы произвольного порядка, для которой уравнения возмущенного движения в отклонениях имеют вид:

, , (2.70)

где при функции .

Дадим ряд понятий и определений устойчивости, следуя работам Ляпунова.

Невозмущенное решение (положение равновесия) называется устойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое , в общем случае зависящее от , что при начальных отклонениях , будет выполняться условие , при .

Невозмущенное решение называется неустойчивым, если хотя бы для одного условие не выполняется.

Если решение устойчиво и дополнительно при , , то невозмущенное решение будем называть асимптотически устойчивым.

Если положение равновесия асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях , т.е. , то говорят об устойчивости в целом. Если известна величина , то говорят об устойчивости в большом или об устойчивости в области. Если известно, что величина существует и может быть сколь угодно малой, то говорят об устойчивости в малом.

Наконец, если положение равновесия асимптотически устойчиво в целом при любых нелинейных функциях из заданного класса, то говорят об абсолютной устойчивости нелинейной системы (2.70).

Отметим, что в случае линейной системы положение равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых отклонениях, т.е. устойчиво в целом. Кроме этого следует помнить, что устойчивость линейных систем не зависит от характера внешних воздействий, т.е. в этом плане устойчивость (неустойчивость) линейных систем является ее внутренним свойством.

Теоремы Ляпунова

Кроме определений Ляпуновым были разработаны два метода анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Суть первого метода заключается в замене нелинейной системы (2.70) линейной (линеаризованной) путем разложения правых частей уравнений (2.70) в ряды Тейлора относительно начала координат и отбрасывания всех нелинейных членов. В результате получаются линейные уравнения (уравнения первого приближения)

, , (2.71)

где − постоянные коэффициенты.

Ляпуновым доказана следующая основная теорема первого метода, которую приведем в упрощенной форме: если линейная система (2.71) асимптотически устойчива, то положение равновесия нелинейной системы (2.70) будет асимптотически устойчивым в малом, если система (2.71) неустойчива, то положение равновесия (2.70) будет неустойчивым.

По первому методу, исключая так называемые критические случаи, задача анализа устойчивости нелинейной системы сведена к более простой задаче анализа линейной системы. Первый метод Ляпунова не позволяет исследовать устойчивость в большом, целом или абсолютную устойчивость. Для этих целей Ляпуновым был разработан второй метод или прямой метод анализа устойчивости.

Введем в рассмотрение непрерывную функцию переменных, такую, что при , , т.е. обращающуюся обязательно в ноль в начале координат.

Если в некоторой области переменных функция или , то ее называют знакоопределенной: соответствен положительно определенной или отрицательно определенной. Если функция сохраняет свой знак, но может обращаться в ноль не только в начале координат, то ее называют знакопостоянной (положительной или отрицательной). Такие функции в дальнейшем будем называть функциями Ляпунова. Примеры функций: − положительно определенная; − отрицательно определенная; − знакопостоянная функция (положительная).

Наконец, функция называется знакопеременной, если в рассматриваемой области она меняет свой знак. Например, .

Приведем три основные теоремы Ляпунова второго метода.

1. Если для системы уравнений (2.70) существует знакоопределенная функция , производная которой является знакопостоянной противоположного знака, то решение устойчиво.

2. Если в предыдущем случае производная будет знакоопределенной, но противоположного знака, то решение будет устойчивым асимптотическим.

3. Если для системы уравнений (2.70) существует функция , производная которой является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знаки и совпадают, то решение системы (2.70) неустойчиво.

Отметим, что приведенные в теоремах условия являются только лишь достаточными и эффективность их будет зависеть от выбранной функции Ляпунова . Не существует в общем случае методик выбора функций Ляпунова, дающих необходимые и достаточные условия.

Довольно часто в качестве функций Ляпунова используют квадратичные формы, для которых, используя известные критерии, можно сравнительно легко определять их знак.