Построение фазовых траекторий

Аналитическое выражение для фазовой траектории является решением нелинейных дифференциальных уравнений (2.13), (2.14) и найти его в общем случае невозможно. Однако если представить реальные нелинейные характеристики в виде идеальных, т.е. аппроксимированных на отдельных участках прямыми линиями, то возможно применение аналитических методов решения. Суть такого подхода заключается в следующем. Пусть идеальная нелинейность на некотором интервале описывается линейной характеристикой , где – заданные коэффициенты. В этом случае уравнение (2.13) для фазовых траекторий будет иметь вид

, (2.18)

где , , , , , .

Уравнение (2.18) является частным случаем уравнения Якоби и может быть проинтегрировано, т.е. задавая начальные значения , можно найти вид фазовой траектории при условии, что .

Таким образом, разбивая всю ось на ряд интервалов и аппроксимируя нелинейность линейной зависимостью на каждом интервале, получим свое уравнение (2.18), решение которого даст на этом интервале некоторою фазовую траекторию. Линии, соответствующие равенствам на плоскости , разделят ее на ряд областей. Эти линии, границы областей, будем называть линиями переключения.

При попадании изображающей точки фазовой траектории на линию переключения, конечное значение этой фазовой траектории, т.е. значения координат и на ее конце, принимаются за начальные условия для фазовой траектории в смежной области. Такой метод решения дифференциального уравнения называют методом сшивания, склеивания или припасовывания решений.

Другой способ построения фазовых траекторий – это метод изоклин, который является графическим методом. В уравнении для фазовых траекторий (2.13) правая часть в каждой точке фазовой плоскости с координатами , определяет скорость движения изображающей точки, т.е. определяет угол наклона касательной к фазовой траектории в этой точке. Уравнение

, (2.19)

где произвольное число, определяет линию на фазовой плоскости равных значений производных или углов наклона касательной. Эту линию и называют изоклиной.

Изобразив на фазовой плоскости несколько изоклин с соответствующими направлениями касательных, можно приближенно представить вид фазовых траекторий и вид фазового портрета.

Наконец, возможно построение фазового портрета путем моделирования уравнений фазовых траекторий и их решения на компьютере.