Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления

Рассмотрим нелинейную САУ, структура которой представлена на рис. 2.2. Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией

, (2.4)

используя которую нетрудно получить дифференциальное уравнение, связывающее переменные и

, (2.5)

где , – производные по времени.

В соответствии со структурой нелинейной САУ рис. 2.2 нелинейный элемент имеет характеристику , где . Итак с учетом (2.5) математической моделью замкнутой нелинейной САУ будет следующая система уравнений

(2.6)

где – функция, характеризующая нелинейную зависимость.

Другой вариант модели можно получить, используя уравнение состояния [1]. По передаточной функции или по дифференциальному уравнению (2.5) можно связать координаты и с помощью векторно-матричных уравнений

(2.7)

где – матрица размерностью , –вектор столбец, – вектор строка, – вектор состояния с координатами .

В этом случае с учетом , получим векторно-матричную модель или уравнения состояния нелинейной системы

(2.8)

Наконец, иногда рассматривают смешанную модель вида

, , (2.9)

где , – изображения, а , , – функции времени (оригиналы).

Объектом дальнейшего рассмотрения являются модели вида (2.6), (2.8) или (2.9). При этом можно выделить следующие возможные направления исследований:

1. Функция в окрестностях исследуемого режима (обычно это положение равновесия) является достаточно гладкой и допускает линеаризацию (разложение ее в ряд Тейлора). Тогда при достаточно малых отклонениях от установившегося режима уравнения (2.6) и (2.8) заменяются на линеаризованные и исследуются линейными методами [1].

2. Линеаризация в соответствии с пунктом 1 допустима, но отклонения от установившегося режима большие. В этом случае САУ надо рассматривать как нелинейную.

3. Линеаризация по пункту 1 недопустима, особенно в случае разрывных нелинейных характеристик. САУ следует рассматривать только как нелинейную.

Излагаемое далее будет относиться к двум последним случаям.

Методы анализа нелинейных САУ, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями (2.6), (2.8), условно можно разделить на точные и приближенные. В свою очередь и в тех и в других можно выделить аналитические, графические и графоаналитические методы расчета и анализа. Широкие возможности дают методы с использованием компьютерного моделирования.

При исследовании процессов в НСАУ можно выделить два направления: исследование собственных процессов в НСАУ при и исследование вынужденных режимов, возникающих при внешних воздействиях . Кроме этого большое значение имеют задачи, связанные с отысканием периодических режимов, автоколебательных режимов и анализом устойчивости процессов в НСАУ.

Пример 2.1. В НСАУ рис. 2.2 линейная часть описывается передаточной функцией . Найдем математические модели системы. Смешанная форма будет

, .

Уравнения (2.6) имеют вид

, .

Используя передаточную функцию , найдем уравнения состояния линейной части в канонической форме

, ,

где ; ; – вектор с координатами .

С учетом уравнения замыкания получим модель (2.7):

, .