Метод припасовывания

Этот метод применяется для случая, когда нелинейная характеристика в САУ рис. 2.2 представляется в виде кусочно-линейной, т.е. на отдельных участках изменения переменной нелинейная характеристика аппроксимируется линейной зависимостью. Теоретически этот подход можно применять для систем любого порядка при вычислении как свободных ( ), так и вынужденных процессов ( ).

Основная идея подхода следующая. Диапазон изменения переменной на входе нелинейности разбивается на ряд интервалов, так что в -ом интервале нелинейная функция заменяется линейной . Тогда в -ом интервале уравнения (2.6), (2.8) или (2.9) становятся линейными и теоретически можно найти общее решение соответствующих линейных дифференциальных уравнений при заданном входе :

(2.30)

где – произвольные постоянные.

Задавая начальные условия для частного (конкретного решения) при условии и полагая в (2.30) , находим произвольные постоянные и соответствующие частные решения , которые справедливы только при .

Далее находим значение момента времени , при котором , либо . При по выражениям (2.30) вычисляем конечные значения решения и его производных , которые принимаем за начальные значения решения в следующем или интервалах. Далее процесс поинтервального решения повторяется.

Итак, для каждого -го интервала изменения переменных системы имеем свою линейную модель, которая дает определенное решение, справедливое только для -го интервала. На границах интервалов, там, где , производится припасовывание (склеивание, сшивание) решений: конечные значения решений для -го интервала становятся начальными значениями искомого решения для следующего интервала. Отсюда и название метода – метод припасовывания решений. Фактически он уже применялся для нахождения решений дифференциальных уравнений для фазовых траекторий в пункте 2.3.3. Границы интервалов являются линиями переключения.

Пример 2.3. Пусть в нелинейной системе рис. 2.2 , а нелинейность имеет вид рис. 2.4, а, которая описывается уравнением

(2.31)

Исходная система нелинейных уравнений будет иметь вид

. (2.32)

Исследуем процессы в системе при входном сигнале . Тогда из (2.32) с учетом (2.31) получим три модели системы для трех интервалов:

Общее решение в каждом случае будет иметь вид:

(2.33)

Пусть , , тогда из первого уравнения (2.33) найдем и решение будет . Найдем момент времени , когда . Это вытекает из решения уравнения при условии . Момент определится по формуле

.

По первой формуле (2.33) определяем

.

Конечное значение процесса принимаем за начальное для второй формулы (2.33), тогда получим и

. (2.34)

Итак, закон изменения координаты при и

, . (2.35)

Если же , то при выход будет изменяться по закону (2.35), а далее при закон изменения будет (2.34).

При в первом случае на выходе имеем установившееся значение , а во втором .