Конические поверхности.

Пусть L - некоторая кривая и точка AÏL и не лежит с L в одной плоскости. Рассмотрим множество точек лежащих на прямых AM, где M – произвольная точка кривой L, это множество точек называется конусом с вершиной в точке A и направляющей L.

Определение 3.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через заданную точку А и точки кривой L, называется конической поверхностью или конусом.Точка А называется вершиной конуса, кривая L – направляющей, прямые АМ, где МÎL, называются образующими конуса.

Если направляющая конуса есть кривая второго порядка, не лежащая в одной плоскости с вершиной, то конус называется конусом второго порядка.

Например, если направляющей конуса является эллипс , а вершина – начало координат, то уравнение конуса имеет вид , это конус 2-го порядка.

Поверхности второго порядка.

Определение 4.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, которая в декартовой системе координат описывается уравнением второго порядка

Ах² + Ву² + Сz² + Dxy + Exz + Fyz + Mx +Ny + Hz +P = 0, (1)

где хотя бы одно из чисел А, В, С, D, E, F не равно нулю.

Рассмотренные выше поверхности:

конус , эллипсоид , однополостный гиперболоид , двуполостный гиперболоид , эллиптический параболоид , цилиндры: , , – являются поверхностями второго порядка. Записанные уравнения этих поверхностей называются каноническими уравнениями.

Доказано, что кроме перечисленных, к поверхностям второго порядка относится поверхность с уравнением , p, q > 0, она называется гиперболическим параболоидом (рисунок 2).

Других поверхностей второго порядка, кроме случая вырождения (плоскости, пары плоскостей, прямой, точки, пустого множества), не существует. Причем канонические уравнения этих поверхностей получаются в том случае, когда система координат выбрана так, что оси координат являются осями симметрии поверхности. В общем случае поверхности второго порядка описываются уравнением вида (1), которое называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Чтобы определить, какую поверхность описывает общее уравнение (1), нужно либо преобразовать его к каноническому виду (с помощью преобразования системы координат), либо использовать метод сечений.

Суть этого метода заключается в том, что рассматривают сечения поверхности координатными плоско­стями и плоскостями, параллельными им. Форма, размеры и взаимное расположение полученных сечений позволяют выяснить форму самой поверхности.

Все перечисленные выше поверхности второго порядка и их канонические уравнения приведены в таблице: