Цилиндрические поверхности.

Пусть L - некоторая линия в пространстве, а l – прямая, не лежащая с L в одной плоскости.

Определение 8.2.

Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, являющееся объединением всех прямых, параллельных заданной прямой l и проходящих через точки кривой L. Линия L называется направляющей, а прямые, параллельные прямой l- образующими цилиндра.

Рассмотрим цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям координат, а направляющими, лежащими в координатных плоскостях.

Пусть L: - кривая в пространстве (очевидно, она лежит в плоскости xOy), а l = Oz.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка этой поверхности. Тогда проекция M₁ (x, y, 0) этой точки на плоскость xOy лежит на направляющей L. Значит, её координаты x и y удовлетворяют уравнению L:

F (x, y) = 0.

Наоборот, если точка N(x₁, y₁, z₁) не принадлежит цилиндрической поверхности, то F (x₁, y₁) ¹ 0 (N ÏL), то есть уравнению F (x, y) = 0, удовлетворяют координаты точек цилиндрической поверхности и только они, следовательно, F (x, y) = 0 есть уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующей, параллельной Oz.

Аналогично можно показать, что уравнение F(x,z)=0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной Oy и направляющей

Уравнение F (y,z)=0 определяет цилиндрическую поверхность с направляющей и образующей, параллельной оси Ox.

Цилиндрическая поверхность, у которой направляющая есть кривая 2-го порядка, называется цилиндрической поверхностью 2-го порядка.

Например, поверхность (или ) называется параболическим цилиндром.

Поверхность с уравнением или - эллиптический цилиндр:

Уравнения и определяют гиперболический цилиндр: