Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1(о структуре общего решения неоднородного уравнения). Если в уравнении (1) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то общее решение уравнения (1) (на этом отрезке) имеет вид

где – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения а – частное решение неоднородного уравнения (1), произвольные постоянные.

Доказательство. Применяя оператор к функции (2), будем иметь

Это означает, что функция (2) является решением уравнения (1) при произвольных значениях постоянных . Пусть теперь –- произвольная точка в ( ). Покажем, что решение задачи Коши

можно получить из (2) выбором определенных значений постоянных. Подчиняя (2) условиям (3), будем иметь

Определитель этой системы совпадает с вронскианом в точке и поскольку фундаментальная система решений линейно независима на отрезке , то указанный определитель системы (4) не равен нулю. Следовательно, система (4) имеет единственное решение а значит функция является решением задачи Коши (3). Тем самым показано, что функция (2) является общим решением неоднородного уравнения (1). Теорема доказана.

2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:

1) построение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения;

2) вычисление частного решения неоднородного уравнения (1).

Самым трудным является осуществление первой процедуры. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами (см. следующий раздел) ее можно всегда реализовать. Если же найдена фундаментальная система решений однородного уравнения то реализовать вторую процедуру не составляет особого труда.

Теорема 2. Пусть –- фундаментальная система решений однородного уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами Если правая часть соответствующего неоднородного уравнения (1) непрерывна на отрезке то его частное решение можно вычислить в виде

где функции (представляющие собой варьированные постоянные общего решения однородного уравнения ) находятся из системы

Доказательство. Проведем доказательство для уравнения второго порядка:

В этом случае система (6) имеет вид

Проверим, что функция

где и удовлетворяют уравнениям (8), является частным решением уравнения (7). Вычислим производные и функции (9) с учетом равенств (8):

Отсюда получаем, что

Группируя здесь коэффициенты отдельно перед каждой функций и получаем

Поскольку и – решения соответствующего однородного уравнения то и значит Таким образом, функция является частным решением неоднородного уравнения (7). Теорема доказана.

Пример 1. Проверить, что функции образуют фундаментальную систему решения уравнения и найти общее решение неоднородного уравнения

Решение.Поскольку и то функция удовлетворяет уравнению Точно так же убеждаемся, что функция также удовлетворяет уравнению Вычисляем вронскиан

Видим, что он не обращается в нуль на промежутке значит функции образуют фундаментальную систему решений уравнения

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения в форме При этом функции и должны удовлетворять системе

Поскольку нас интересует частное решение неоднородного уравнения то и можно взять в виде Подставляя их в функцию , получаем частное решение в виде

а значит, общее решение неоднородного уравнения запишется в форме