Структура общего решения однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

Докажем следующий важный результат.

Теорема 5. Пусть функции являются решениями однородного уравнения (5) с непрерывными на отрезке коэффициентами Тогда линейно независимы на отрезке в том и только в том случае, когда вронскиан этих функций не равен нулю ни в одной точке отрезка

Доказательство.Достаточность вытекает из следствия 1. Докажем необходимость. Пусть решения уравнения (5) линейно независимы на отрезке Покажем, что тогда вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезка Предположим противное, т.е. что существует точка такая, что вронскиан обращается в нуль в этой точке:

Тогда столбцы этого определителя линейно зависимы, т.е. существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что

С помощью указанных чисел построим функцию . Поскольку решения однородного уравнения (5), то из линейности дифференциального оператора следует, что

Это означает, что функция является решением уравнения (5). Из (6) следует, что эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, т.е.

Но таким же начальным условиям удовлетворяет и тривиальное решение этого уравнения. В силу единственности решения (см. теорему 1) функции и совпадают на отрезке и значит и значит

Поскольку здесь не все числа равны нулю, то последнее тождество означает, что функции линейно зависимы на отрезке . Мы получили противоречие, которое показывает, что наше предположение не верно. Следовательно, вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезка Теорема доказана.

Из теоремы 4 и доказательства теоремы 5 вытекают следующие свойства вронскиана системы решений линейного однородного дифференциального уравнения (5) с непрерывными на отрезке коэффициентами

Если вронскиан обращается в нуль в некоторой точке отрезка то он тождественно равен нулю на всем отрезке (т.e.

Если вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точке отрезка , то он не равен нулю и на всем отрезке

Свойства и легко усматриваются также из формулы

называемой формулой Остроградского-Лиувилля. Здесь – коэффициент при производной в уравнении (5), – произвольная фиксированная точка отрезка

Обозначим теперь через множество всех решений однородного уравнения (5). Какова структура множества ? Во-первых, оно является линейным пространством. Действительно, если и два произвольных элемента множества то выполняются тождества а значит для произвольных чисел и (в силу линейности оператора ) имеет место тождество

Это тождество показывает, что любая линейная комбинация элементов множества принадлежит (т.е. является решением уравнения (5)). Следовательно, –- линейное пространство.

Из линейной алгебры известно, что если линейное пространство конечномерно, то в нем можно выделить базис, т.е. такую упорядоченную систему элементов которая обладает свойствами:

а) система линейно независима;

б) каков бы ни был элемент , существуют числа такие, что

При этом числа называются координатами элемента в базисе (показывается, что координаты элемента в данном базисе единственны).

В пространстве также можно выделить базис. В случае дифференциальных уравнений (а также в случае любой линейной системы уравнений) базис пространства решений принято называть фундаментальной системой решений. Мы вернемся к этому термину немного позднее и определим его более точно.Существование базиса в устанавливается следующей теоремой.

Теорема 6 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если в уравнении (5) все коэффициенты непрерывны на отрезке , то для него существуют линейно независимых на отрезке решений ( – порядок уравнения (5)). При этом любое другое решение уравнения (5) является линейной комбинацией указанных линейно независимых решений , т.е. общее решение уравнения (5) описывается формулой

где –- произвольные постоянные.

Доказательство. Покажем сначала, что для уравнения (5) существуют линейно независимых на отрезке решений. Возьмем произвольную постоянную матрицу с определителем и со столбцами Так что матрица не вырождена и имеет порядок . Каждый столбец этой матрицы будем использовать в качестве начальной точки для задачи Коши для уравнения (21.5). Получим задач Коши:

Каждая из этих задач (в силу непрерывности коэффициентов ) имеет единственное решение. Обозначим через решения этих задач соответственно. Вронскиан в точке этих решений:

совпадает с определителем матрицы , и поэтому не равен нулю. Отсюда следует, что решения линейно независимы на отрезке Существование таких решений доказано (их можно даже построить бесчисленное множество, выбирая произвольно матрицу с ). Покажем теперь, что (8) – общее решение уравнения (5).

При любых значениях постоянных функция (8) является решением уравнения (5), так как пространство решений уравнения (5) является линейным пространством. Пусть теперь – решение произвольной задачи Коши

где Покажем, что существуют значения постоянных такие, что функция совпадает с решением задачи Коши (9). Подчиняя (8) начальным условиям (9), получаем равенства

Так как решения линейно независимы на отрезке то их вронскиан не равен нулю в произвольной точке отрезка . Определитель системы (10) совпадает с вронскианом , и значит он не равен нулю. Но тогда система уравнений (10) имеет единственное решение При этом функция являясь решением уравнения (5), удовлетворяет и начальным условиям (9) (в силу выбора чисел ). Следовательно, функция (8) является общим решением уравнения (5). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что любая система из линейно независимых решений уравнения (5) порядка образует базис (фундаментальную систему решений (см. ниже)) в пространстве .

Определение 3. Любая упорядоченная система из линейно независимых на отрезке решений уравнения (5) ( -го порядка) называется фундаментальной системой решений этого уравнения (или базисом его решений).

Следовательно, пространство решений однородного уравнения (5) имеет размерность . На следующей лекции будет рассмотрено неоднородное уравнение и изучена структура его общего решения.

Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений

Займёмся теперь неоднородным уравнением и установим свойства его решений.