Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши

 

Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства:

1) – пространство функций, непрерывных на отрезке

2) – пространство функций непрерывных вместе со своими производными (до –го порядка включительно),

Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.

Теорема 1. Если в операторе все коэффициенты непрерывны на отрезке , то действует из пространства в пространство (т.е. ) и является линейным оператором, т.е.

для произвольных постоянных и и произвольных функций

Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при –кратном дифференцировании функция класса переходит в функцию класса Кроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен оператор Будем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентом B этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме

где обозначено:

Наша ближайшая задача – изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши

где произвольный вектор.

Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решение и это решение определено также на этом отрезке.

Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения.






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1585; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.02 сек.