Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства:
1) – пространство функций, непрерывных на отрезке
2) – пространство функций непрерывных вместе со своими производными (до –го порядка включительно),
Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.
Теорема 1. Если в операторе все коэффициенты непрерывны на отрезке , то действует из пространства в пространство (т.е. ) и является линейным оператором, т.е.
для произвольных постоянных и и произвольных функций
Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при –кратном дифференцировании функция класса переходит в функцию класса Кроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен оператор Будем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентом B этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме
где обозначено:
Наша ближайшая задача – изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши
где произвольный вектор.
Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решение и это решение определено также на этом отрезке.
Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2080;