Расчет по методу предельной несущей способности

В методе расчетных сопротивлений, рассмотренном ранее, условие прочности ограничивает достижение хотя бы в одной точке поперечного сечения напряжения, равного расчетному сопротивлению для данного материала, т.е. R.

В методе предельной несущей способности условие прочности относится не к напряжению, а к допускаемому изгибающему моменту, который определяется как отношение предельного изгибающего момента к коэффициенту запаса n.

(7.12)

При одинаковом значении коэффициента запаса по напряжениям и по нагрузкам (т.е. n = ) метод предельной несущей способности дает некоторую экономию материала.

Рассмотрим метод предельного равновесия при изгибе балок из упруго-пластического материала (например, сталь).

Для упрощения задачи примем в качестве расчетной диаграмму Прандтля (рис. 7.5). При s < s_S материал работает линейно-упруго, поэтому для вычисления нормальных напряжений в поперечном сечении балки справедлива формула:

При достижении максимального значения нормального напряжения в наиболее удаленной от центральной (нейтральной) оси сечения точке предела текучести ( = s_S) продольные волокна в этой точке неограниченно деформируются при постоянном напряжении s = s_S.

При таком предположении рассмотрим стадии, проходящие балкой при увеличении изгибающего момента в данном сечении вплоть до исчерпания несущей способности (рис. 7.6).

При постепенном возрастании максимального изгибающего момента линейно-упругая стадия работы балки заканчивается при достижении текучести в самой напряженной крайней точке (рис. 7.6б). Соответствующий данному состоянию изгибающий момент определится из условия

Отсюда М_Т = . (7.13)

При дальнейшем увеличении внешней силы, а значит и максимального изгибающего момента, наступает упруго-пластичес­кая стадия работы балки. Зона текучести при этом будет расширяться от крайних точек, а эпюра при М_Т М М_пред будет иметь вид (рис. 7.6в). В пределе эпюра превратится в ступенчатую эпюру с ординатами s = ±s_S. В данный момент это сечение будет работать в чисто пластической стадии (рис. 7.6г).

Если центральная ось Z является осью симметрии сечения, то обе крайние точки достигают текучести одновременно.

Состояние сечения, когда во всех точках развиваются пластические деформации, называют пластическим шарниром.

При этом балка, если она была статически определимой, как бы превращается в механизм, продолжающий увеличивать прогибы при постоянной внешней нагрузке, равной предельной. Такое состояние называют пластическим механизмом. В поперечном сечении, где образовался пластический шарнир, внутренний момент обозначим М_пред и назовем его пластическим предельным моментом.

Таким образом, наиболее напряженное сечение балки проходит три стадии работы:

– линейно упругую ( );

– упруго пластическую (М_Т < < М_пред.);

– чисто пластическую (пластический шарнир) (|M|_max = M_пред).

Получим формулу для определения М_пред на примере сечения с одной осью симметрии (рис. 7.6).

В упругой стадии эпюра линейна и нулевая (нейтральная) линия совпадает с центральной осью Z.

В общем случае при образовании пластического шарнира нейтральная ось (н.о) n–n смещается от центра тяжести сечения (точки С). В этот момент все сечение делится на две части: часть, растягиваемую постоянным напряжением s_S с площадью А_р и соответствующей силой N_P = А_P × s_S и часть сжимаемую постоянным напряжением s_S с площадью А_сж с действующей силой N_cж = –А_сж×s_S. Так как суммарная продольная сила в сечении при поперечном изгибе равна нулю, то из условия:

N_Р + N_сж = А_Р –А_сж = 0

получим А_р = А_cж =

Таким образом, при образовании пластического шарнира нейтральная ось делит площадь поперечного сечения на две равновеликие части. Эта ось на рис. 7.4 показана пунктиром.

Внутренний момент М_пред найдем как момент всех элементарных сил (s_S × dA) относительно нейтральной оси n–n, (рис. 7.6а).

(7.14)

Здесь – S статический момент растянутой зоны относительно нейтральной оси в предельном состоянии n–n; S – то же для сжатой зоны.

Обозначим S + S = W_пл, (7.15)

где W_пл – пластический момент сопротивления сечения в отличие от W_Z = осевого момента сопротивления в упругой стадии.

Формулу (7.14) можно записать в виде, аналогичном соответствующей формуле в упругой стадии:

М_пред = (7.16)

Примеры расчета

ПРИМЕР 7.1

Для балки, изображенной на рис. 7.7а, требуется:

– построить эпюры М и Q;

– подобрать сечение в четырех вариантах (рис. 7.7б, в, г, д) и проверить прочность подобранных сечений по нормальным и касательным напряжениям.

РЕШЕНИЕ