Расчеты на прочность

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные и касательные напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

(7.3)

где – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определяется (рис. 7.3); – главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле (7.3) можно определять нормальные напряжения в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси Z на расстоянии у. Знак "минус" перед формулой (7.3) поставлен для того, чтобы при принятых правилах знаков для изгибающих моментов знак полученного нормального напряжения соответствовал характеру деформации точек сечения: "плюс" – растяжению, "минус" – сжатию.

Из соотношения (7.3) видно, что нормальное напряжение зависит от величины улинейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на рис. 7.3б. Наибольшее нормальное напряжение будет в точке, для которой величина ув формуле (7.3) принимает максимальное значение, т.е. в наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы (7.3) для определения нормальных напряжений при прямом изгибе и их эпюра (рис. 7.3б) позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при R_t = R_c = R) это условие имеет вид:

или:

(7.4)

где (7.5)

Здесь называется осевым моментом сопротивления сечения; – расстояние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения, взятое по модулю; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала на растяжение (R_t) и на сжатие (R_c) не равны между собой, т.е. R_t R_c, условия прочности для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

(7.6)

(7.7)

где (7.8)

(7.9)

В формулах (7.8) и (7.9) величины и означают наибольшие по модулю расстояния от нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растянутого и сжатого волокна. В таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибающих моментов нужно выяснить, какая часть сечения работает на растяжение, какая – на сжатие.

В приведенных условиях прочности при прямом изгибе означает наибольшее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры М.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе (7.4), (7.6) и (7.7) позволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача – проверка прочности при всех известных данных непосредственно с помощью приведенных формул.

2. Проектная задача – подбор сечения балки. Для решения задач этого типа из условия прочности определяют требуемое значение осевого момента сопротивления, принимая условие прочности со знаком равенства, т.е. = R.

Например, для балки из пластичного материала из формулы (7.4) получаем

Выражая фактическую величину через формулу (7.5) из равенства , находим неизвестный размер сечения или номер профиля для прокатного элемента из таблицы сортаментов.

3. Определение допускаемого значения изгибающего момента, т.е. определение несущей способности балки с заданными размерами и характеристиками:

Касательные напряжения в сечении при прямом поперечном изгибе возникают от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

(7.10)

где Q_Y – поперечная сила в том сечении, в точках которого определяются касательные напряжения; – статический момент отсеченной части площади поперечного сечения (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения ) относительно центральной (нейтральной) оси Z, взятый по абсолютной величине; b(y) – ширина сечения на уровне точки, для которой определяется касательное напряжение (на расстоянии у от нейтральной оси).

Определение b(y) и для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на примере сечения в виде трапеции (рис. 7.4).

Наибольшие по модулю касательные напряжения будут в тех точках, где отношение достигает максимума. В частности, для прямоугольного сечения при наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше, чем для других частей сечения.

В общем случае, условие прочности балки по касательным напряжениям будет иметь вид:

(7.11)

Здесь R_S – расчетное сопротивление материала на сдвиг.

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента и поперечной силы , берут из соответствующих эпюр.

Принимая во внимание, что при прямом изгибе другие внутренние силовые факторы, кроме и Q_Y, равны нулю, в дальнейшем при их обозначении нижние индексы Z и Y будем опускать.