Лекция № 6. Различные виды алгебраических структур.

Полугруппы.

Определение. Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией .

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Замечание. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “ ” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом“ ” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .

Пример 1.

а) Алгебра , где множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , где множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица .

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.

Определение. Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Определение. Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих . Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите . Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Определение. Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы – это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны (то есть задают один элемент) в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов.

Группы.

Определение 1. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию .

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

3) для любого элемента а существует элемент а^-1 из этого же множества такой, что

Замечание. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Замечание. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы . Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2.а соответствующая запись имеет вид , а для группы из примера 2.б - .

Поля и кольца.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативнымкольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип - .

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент такой, что ax = b.

Другими словами, для любой пары элементов и уравнение имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 3.

а) Алгебра является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение в ней неразрешимо.

б) Алгебра является полем и называется полем рациональных чисел.

Решётки.

До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки.

Определение. Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями и , такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);

2. (коммутативность);

3. (ассоциативность);

4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и .

Определение. Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Определение. Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Определение. Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема 6.1. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение. В ограниченной решётке элемент называется дополнением элемента , если и .

Пример 4.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , что и .

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , если является делителем . Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а их наибольший общий делитель.