Элементы площади ватерлинии

Чтобы определить V, х_с , z_с ,необходимо знать площади ватер­линий S и абсциссы х_f центров тяжести этих площадей. Для расчета остойчивости следует вычислить моменты инерции площадей ватерлиний относи­тельно координатных осей Ох, Оу и оси ff, проходящей через центр тяжести пло­щади ватерлинии.

Вначале найдем элементы площади ватерлинии для судна, сидя­щего прямо и на ровный киль. Выделим элементарную площадь, (рис. 1.18) длиной dx и шириной 2у: dS = 2ydx, тогда

. (1.48)

Рис. 1.18. К определению элементов площади симметричной ватерлинии

Абсцисса ЦТ площади ватерлинии равна

х_f =M_y / S ,(1.49)

где M_y — статический момент площади ватерлинии относительно оси Оу. Для определения М_у выпишем сначала выражение для ста­тического момента элементарной площади dS:

dM_y = xdS = x2ydx,

откуда

. (1.50)

Получим формулы для определения осевых моментов инерции площади ватерлинии относительно главных центральных осей, од­ной из которых является ось Ох (в силу симметрии ватерлинии отно­сительно Ох), другой — ось ff, параллельная оси Оу и проходящая через точку F — центр тяжести площади ватерлинии.

Найдем момент инерции dI_x элементарной площади dS,для чего воспользуемся известной из теоретической механики формулой для момента инерции площади прямоугольника относительно главной центральной оси: , где b = dx, h = 2y, т. e.

,

тогда

. (1.51)

Момент инерции площади ватерлинии S относительно оси равен

, (1.52)
где Sx²_f — переносный момент инерции;

1_у - момент инерции площади ватерлинии относительно оси Оу, определенный по формуле

, (1.53) так как элементарный момент инерции площади dS равен .

В процессе эксплуатации судно может плавать с начальным кре­ном, когда ватерлиния несимметрична относительно ДП. Чтобы рас­считать для данного случая площадь, статические моменты, моменты инерции и другие элементы, надо несколько изменить формулы (1.36)— (1.43). С этой целью введем правые у_п и левые у_л ординаты (рис. 1.19).

Согласно рис. 1.19 выражение для площади элемента с учетом того, что у_л отрицательна, можно записать в виде dS = y_n dx— у_л dx =(у_п - у_л) dx , а пло-щадь ватерлинии как

. (1.54)

Рис. 1.19. К определению элементов площади несимметричной ватерлинии

Аналогично для статического момента площади S относительно оси Оу получим

. (1.55)

Тогда

. (1.56)

Для несимметричной ватерлинии статический момент площади относительно оси Ох не равен нулю. Статический момент для правой элементарной площадки равен

,

для левой –

,

суммарный -

.

Тогда формула для полного статического момента запишется в виде

. (1.57)

Центр тяжести F площади ватерлинии будет находиться от ДП на расстоянии

. (1.58)

Для моментов инерции элементарной площадки можно записать следующие выражения:

; .

Следовательно, моменты инерции относительно осей координат бу­дут равны

; (1.59)

. (1.60)

Но в дальнейших расчетах нам потребуются моменты инерции относительно осей, проходящих через ЦТ F площади ватерлинии. Они определяются с учетом соответствующих переносных моментов инерции по формулам

;

. (1.61)

Формулы (1.54) - (1.61) имеют более общий характер, чем соответствующие формулы, полученные для симметричного судна. Для него у_п = - у_л ивыражения (1.54) - (1.61) переходят в (1.46) - (1.53).

Формула (1.57) позволяет вычислить также статический момент погруженного объема М_xz несимметричного судна относительно ДП, а затем и ординату ЦВ у_с. Статический момент может быть представлен как интегральная сумма статических моментов элементарных объемов

,

или с учетом (1.57)

.

Ордината ЦВ

. (1.62)

Необходимо отметить, что использование формул (1.54) - (1.62) предполагает незначительную несимметрию относительно ДП, поэтому можно пре-небречь центробежным моментом инерции, т.е. I_xy 0 .

При вычислениях элементов площади ватерлиний многокорпусных плавучих объектов (плавучие буровые установки, трисеки и т.д.) используются два основных метода, применение каждого из которых зависит от особенностей формы площадок, составляющих ватерлинию.

Если ватерлиния состоит из площадок сложной формы, в том числе и характерной для ватерлиний обычных судов (например, рис. 1.20), можно использовать подход, продемонстрированный при выводе формул (1.54) - (1.62). Тогда получим:

S= ; (1.63)

M_x= ; (1.64)

M_y= (1.65)

I _x = ; (1.66)

I_y = . (1.67)

Величины x_f , y_f , I_xf и I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

При большом числе корпусов формулы (1.63) - (1.67) можно обобщить.

Тогда получим:

S = ; (1.68)

M_x = ; (1.69)

M_y = ; (1.70)

I_x= ; (1.71)

I_y = . (1.72)

Здесь m - число правых ординат, k – текущий номер правой ординаты, n - число левых ординат, l – текущий номер левой ординаты. Величины x_f , y_f , I_xf и I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

Рис. 1.20. К определению элементов площади ватерлинии, состоящей из

площадок сложной формы

Если же ватерлиния состоит из площадок простой формы (круг, эллипс, прямоугольник и т.д.), для которых можно заранее рассчитать характеристики площади относительно собственных центральных осей (s_k - площадь, i_xk - момент инерции площади относительно собственной центральной оси O_k^¢х_k¢, параллельной главной оси Ox; i_yk - момент инерции площади относительно собственной центральной оси O_k¢у_k¢, параллельной главной центральной оси Oy (см. рис. 1.21), то получатся следующие формулы :

S = ; I_x = ; I_y= ;

M_y = ; M_x= , (1.73)

где n - число площадок, составляющих площадь ватерлинии.

Здесь также предполагается, что центробежный момент инерции I_xy = 0.

Величины x_f , y_f , I_xf , I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

Рис. 1.21. К определению элементов площади ватерлинии, состоящей из

площадок простой формы