Основные свойства операций с кардиналами


10. " a , b , g, d Î Сard(U) a £ b Ù g £ d ® a + g £ b + d

Пусть кардиналы a , b , g, d соответствуют попарно непересекающимся множествам A, B, C, D. Нужно доказать, что если существуют инъекции f : A ® B и j : C ® D, то существует инъекция h : A È C ® B È D. Зададим h(x) = . Это – инъекция, т.к. если h(x) = h(y), то x и y не могут принадлежать разным множествам (А Ç С = Æ), и значит, выполнены равенства f(x) = f(y) или j(x) = j(y), откуда (ввиду инъективности отображений f и j) x = y.

20. " a , b , g, d Î Сard(U) a £ b Ù g £ d ® a×g £ b×d

Аналогично предыдущему. Пусть кардиналы a , b , g, d соответствуют попарно непересекающимся множествам A, B, C, D. Нужно доказать, что если существуют инъекции f : A ® B и j : C ® D, то существует инъекция h : A´C ® B´D. Зададим h((a; c)) = (f(a) ; j(c)) . Проверьте сами, что это – инъекция.

30. " a , b , g Î Сard(U) (a + b) + g = a + (b + g)

Нужно доказать, что для попарно непересекающихся множеств A, B, C верно |(A È B) È C| = |A È (B È C)|. Это очевидно ввиду закона ассоциативности объединения.

40. " a , b Î Сard(U) a + b = b + a

Аналогично предыдущему.

50. $ 0 Î Сard(U) " a Î Card(U) 0 + a = a = a + 0

|Æ È A| = |A| = |A È Æ|.

60. " a , b , g Î Сard(U) (a×b)×g = a×(b×g)

Нужно доказать, что |(A´B)´C| = |A´(B´C)|. Биекция между этими множествами естественна: ((a; b); c) « (a; (b; c)).

70. " a , b Î Сard(U) a×b = b×a

Самостоятельно.

80. $ 1 Î Сard(U) " a Î Card(U) 1×a = a = a×1

|{a}´A| = |A| = |A´{a}|.

90. " a , b , g Î Сard(U) (a + b)×g = a×g + b×g

Нужно доказать, что |(A È B)´C| = |(A´C) È (B´C)| для непересекающихся A, B. Это следует из (A È B)´C = (A´C) È (B´C).

100. " a , b , g Î Сard(U) a b + g = a b×a g

Нужно доказать, что |AB È C| = |AB´AC| для непересекающихся B и C. Биекция естественна: отображению f : B È C ® A ставим в соответствие пару функций (f |B ; f |C) Î AB´AC, где f |Xограничение функции f на множество X Í B È C.

110. " a , b , g Î Сard(U) (a×b)g = a g×b g

Равенство |(A´B)C| = |AC´BC| проверяется построением биекции, ставящей в соответствие функции f : C ® A´B пару функций (fA ; fB), где fA = πAof, fB = πBof (πA и πBестественные проекции множества A´B на сомножители).

120. " a , b Î Сard(U) (a b)g = a(b×g)

Равенство |(AB)C| = |AB´C| проверяется построением биекции, ставящей в соответствие отображению f : C ® AB отображение g : B´C ® A где g((b; c)) = f(c)(b) Î A (нужно помнить, что f(c) Î AB является отображением из B в А).

130. 1 + 1 + … = w, k1 + k2 + … = w

|{a1} È {a2} È …| = |{a1 , a2 , …}| = |N| при попарно различных ai (i Î N),

|{1, … , k1} È {k1 + 1, … , k1 + k2 + 2} È …| = |N|.

140. w + w + … = w

Объединение счётного числа счётных множеств счётно.

150. n×w = w = w n

Декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно, а значит, n×w = w. Кроме того, w n = = w 2×w n–2 = w×w n–2 = w n–1 = … = w.

160. 1+ w + w 2 + … + w n + … = w

Объединение счётного числа счётных множеств счётно.

170.nw = w w = cw = c = 2w = w×с

Прежде всего, c = |[0; 1]| = |{0, c1c2 … Î R | ci – двоичные цифры}|. Поэтому cмощность всех последовательностей с компонентами из двухэлементного множества цифр, т.е. c = 2w.

Далее, с = 2w £ nw £ w w £ c w = (2 w)w = = 2 w = c, так что все эти мощности равны.

Наконец, c £ w×c £ c 2 = c .

180. 1+ с + с 2 + … + с n + … = 1+ с + с + … + с + … = w×с = с

190. " a , b Î Сard(U) (a ³ w Ú b ³ w) ® (a×b = max{a, b})

Достаточно доказать для бесконечного кардинала a равенство a 2 = a : если a ³ b , то a £ a×b £ a 2 = a , и значит, a×b = a = max{a, b}.

Пусть для некоторого бесконечного кардинала a верно a 2 ¹ a. Тогда во в.у.м. Card(U) можно выбрать наименьший кардинал с этим свойством, который и обозначим через a. По выбору a имеем " b < a b 2 = b. Рассмотрим произвольный отрезок w £ b < a и рассмотрим кардинал d , отвечающий множеству a \ b . Тогда b + d = a и выполнены соотношения:

a 2 = (b + d)2 = b 2 + 2×b×d + d 2 = b + 2×b×d + d 2.

Если d < a , то d 2 = d и 2×b×d £ 2×g 2 = g , где g = max{b , d}. Таким образом, в этом случае a 2 = b + 2×b×d + d 2 = b + g + d = b + d = a – противоречие. Значит, d = a > b .

Для каждого w £ b < a есть биекция jb : b ® b 2 . На множестве упорядоченных пар (b ; jb ) введём отношение порядка p : (b ; jb ) p (g ; jg ) тогда и только тогда, когда b < g и jg |b = jb . Это отношение частичного порядка. При этом, если (b ; jb ) p (g ; jg ) p … – возрастающая цепочка, то у неё есть верхняя грань (u ; j), где u – объединение всех кардиналов b , g , … этой цепочки, а j : u ® u 2 продолжает все функции цепочки: j(x) = je(x), если x Î e . Такое определение не зависит от выбора e : если x Î t , где (t ; jt) < (e ; je), то jt(x) = je(x), т.к. je |t = jt . Проверьте, что j – биекция.

По лемме Цорна существует максимальная пара (π ; y), т.е. непродолжаемое биективное отображение y : π ® π 2. Ясно, что w < π < a и по доказанному выше x = a – π = a > π . Рассмотрим кардинал π + π = 2×π < a и распространим y до биекции y : 2×π ® (2×π)2 : квадрат (2×π)2 состоит из четырёх равномощных квадратиков π 2 ~ π, причём π = π2 £ £ 3×π2 = 3×π £ π 2 = π , так что существует биекция из отрезка (π; 2×π] на “уголок” из трёх квадратиков (см. рисунок выше). Таким образом, y будет по-прежнему отображать [0; π] на квадратик π 2 , а отрезок (π; 2×π] – на “уголок” из трёх таких квадратиков. Построенное продолжение противоречит непродолжаемости y .

200. " a , b Î Сard(U) (a ³ w Ú b ³ w) ® (a + b = max{a, b})

Если a £ b, то a + b £ b + b = 2×b £ b 2 = max{a, b} = b £ a + b.

 

Итак, арифметика кардинальных чисел, с одной стороны, обобщает обычную арифметику натуральных чисел, но, с другой, привносит многие необычные черты в знакомый пейзаж.




Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 200;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.