Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспе­ченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых:

Конечно, незначительное (до 5...6%) превышение расчетного напряжения над допускаемым не опасно.

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 19.16.

В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинако­вы.

Наибольшего значения касатель­ные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения.

где – полярный момент инерции.

Введя обозначение , получим следующее выражение для максимального касательного напряжения:

(19.12)

Величину (мм³), равную отношению полярного момента инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом со­противления сечения. Его размерность – L³. Очевидно, полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении.

(19.13)

Эта формула служит для проверочного расчета на прочность.

При проектном расчете и при определении допускаемой на­грузки (момента) из формулы (19.13) соответственно находят или

Для кольца:

;

(19.14)

и для круга:

(19.15)

Для конструкционной углеродистой стали обычно = 20..35 МПа.

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении.

Рассмотрим брус, жестко защем­ленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим мо­ментом М (рис. 19.17). При деформации

бруса его поперечные сечения повер­нутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или, что то же, по отношению к непо­движному сечению (заделке). Угол по­ворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного сечения I, отстоящего от заделки на расстоянии Z ,он равен , для сечения II – .Здесь – угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной .

Вообще угол поворота произвольного сечения равен углу за­кручивания части бруса, заключенной между этим сечением и за­делкой. Таким образом, угол поворота торцового сечения пред­ставляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса.

За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) вала, обозначаемый (встречается обозначение ).

(19.16)

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинако­вом во всех поперечных сечениях крутящем моменте равен

(19.17)

где l – длина рассматриваемого участка, мм.

В отличие от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от материала вала, допускаемый угол закручивания зави­сит от назначения вала.

Значения допускаемых углов закручивания, встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма разнообразны; наибо­лее распространены значения

Условие жесткости при кручении имеет вид

(19.18)

– условно жесткость сечения круглого бруса при кручении. Модуль сдвига (G) характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции ( ) является геометрической характеристикой жесткости бруса.

При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение , а затем по формуле (19.19) или (19.20) вычисляют диаметр ва­ла. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнитель­ного размера) должен быть, конечно, принят больший.

(19.19)

Для круга

(19.20)

19.8. Условие прочности вала при совместном действии
крутящего и изгибающего моментов.

При ориентировочном расчете валов влияние изгиба не учиты­валось, но допускаемые напряжения на кручение принимались весьма невысокими, что должно было в известной мере компенсировать ошибку, являющуюся следствием пренебрежения изгибом.

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учиты­вая совместное действие изгиба и кручения.

При расчете валов, а также дру­гих элементов конструкций, испытыва­ющих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные на­пряжения в опасных точках бруса, не­велики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормаль­ными напряжениями от изгиба.

На рис.19.18 а показан вал, на который насажены зубчатое колесо ди­аметром и шкив ременной передачи диаметром На зубчатое колесо действуют окружная и радиальная силы, на шкив – силы и

натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рис. 19.18 б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы к оси вала добавляется скручивающая пара с моментом (рис. 19.19 а); аналогично, при приведении сил и получается скру­чивающая пара с моментом

(рис. 19.19 б).

При равномерном вращении вала (толь­ко такой случай и рассматривается) , что следует из основного уравнения динамики для вращательного движения.

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры , по которым опре­деляют опасное сечение вала.

(19.21)

Для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие крутя­щий и изгибающий моменты. В рассматриваемом случае опасным будет сечение C под серединой шкива.

Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой кон­струкционной или реже легированной стали. Их расчет выполняют на основе третьей или пятой гипотез прочности.

Составим расчетную зависимость по третьей гипотезе проч­ности.

По формуле

(19.22)

подставляя в нее значения и , получаем

(19.23)

Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) се­чения , имеем

(19.24)

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, по­этому величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным(или приведенным) моментом, при этом условие прочности имеет вид

(19.25)

Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кру­чением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчетную

формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающих и крутящего мо­ментов, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе на­ибольших касательных напряжений,

(19.26)

При проектном расчете определяют требуемое значение момен­та сопротивления поперечного сечения:

(19.27)

Учитывая, что для сплошного круглого сечения получаем следующую формулу для определения требуемого диаметра вала:

(19.28)

Понятие "эквивалентный момент" не имеет смысла при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения. Неприменимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого се­чения испытывает растяжение или сжатие.

Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение также называют опасным. Для отыскания опасного сечения иногда помимо эпюр строят эпюру , а затем эпюру . Практически в этом нет необходимости; в случае, если по эпюрам положение опасного сече­ния нельзя определить, проще вычислить для нескольких се­чений, чем строить эпюры и .